Miara na σ-algebrze

[Fretkonur]

Niech µ : Σ → [0,\( \infty \)) będzie miarą na σ-algebrze Σ podzbiorów zbioru S. Pokazać, że dla dowolnej rodziny \((A_t)_{t \in T} \subset Σ\) istnieje A ∈ Σ o własnościach:
1. \( \forall _{t \in T}\) µ(\(A_t \bez A) = 0\)
2. (\( \forall _{t \in T}\) µ(\(A_t \bez B) = 0\)) \(\So\) µ\((A \bez B)=0\)

Proszę o pomoc, kompletnie nie wiem jak zrobić to zadanie.

[grdv10]

Jeśli \(A_t\) jest rodziną przeliczalną, to można przyjąć \(A=\bigcup_t A_t.\) Jeśli rodzina nie jest przeliczalna, to pozostaje kwestia mierzalności sumy zbiorów tej rodziny (np. dla miary Lebesgue'a, powiedzmy na \([0,1]\), istnieje zbiór niemierzalny, który jest oczywiście nieprzeliczalną sumą zbiorów mierzalnych, którymi są singletony). W zamian można pomyśleć o supremum miar zbiorów \(A_t\), jako że zbiór \(\{\mu(A_t)\colon t\in T\}\) jest ograniczony z góry przez \(\mu(S)<\infty.\) W takim przypadku istnieje ciąg \(\left(\mu(A_{t_n})\right)\) zbieżny do tego supremum. Spróbuj rozważyć \(A=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_{t_n}.\) To jet pomysł - jeszcze go nie sprawdziłem.