Czy każda izometria płaszczyzny jest odwzorowaniem addytywnym i ciągłym?
Uzasadnij swoją odpowiedź.
Wiem, że to zdanie będzie fałszywe. Jaki wziąć kontrprzykład, by udowodnić swoją odpowiedź?
Izometria płaszczyzny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Izometria płaszczyzny
Każda izometria jest odwzorowaniem ciągłym. Istotnie: niech \(x_n\to x\). Z warunku izometrii mamy \[\bigl\|T(x_n)-T(x)\bigr\|=\|x_n-x\|\to 0,\] więc \(T(x_n)\to T(x).\)
Teraz wystarczy znaleźć izometrię, która nie jest odwzorowaniem addytywnym. Jest nią np. każda translacja o wektor niezerowy: \(T(x)=x+a\), gdzie \(a\ne 0\).
Rozumowanie ze swojej natury przechodzi w każdej przestrzeni unormowanej, nie tylko na płaszczyźnie. Dokładniej dla \(T:X\to Y\), gdzie obie przestrzenie są unormowane. Zgodnie z twierdzeniem Mazura-Ulama, nakładając dodatkowo na izometrię warunek \(T(0)=0\), otrzymujemy, że odwzorowanie \(T\) musi już być liniowe. Translacja o wektor niezerowy w oczywisty sposób tego warunku nie spełnia.
Teraz wystarczy znaleźć izometrię, która nie jest odwzorowaniem addytywnym. Jest nią np. każda translacja o wektor niezerowy: \(T(x)=x+a\), gdzie \(a\ne 0\).
Rozumowanie ze swojej natury przechodzi w każdej przestrzeni unormowanej, nie tylko na płaszczyźnie. Dokładniej dla \(T:X\to Y\), gdzie obie przestrzenie są unormowane. Zgodnie z twierdzeniem Mazura-Ulama, nakładając dodatkowo na izometrię warunek \(T(0)=0\), otrzymujemy, że odwzorowanie \(T\) musi już być liniowe. Translacja o wektor niezerowy w oczywisty sposób tego warunku nie spełnia.