znaleźć jawny wzór dla funkcji\( f:N \to N\), określonej indukcyjnie:
f(0)=1
f(0)=4
\(f(n)=6*f(n-1)+4*f(n-2\)), dla n>1
znaleźć jawny wzór
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: znaleźć jawny wzór
Niech \(f(n)=q^n \). Wtedy równanie rekurencyjne wygląda tak:
\(q^n=6q^{n-1}+4q^{n-2}/:q^{n-2} \So q^2=6q+4 \iff q_1=3-\sqrt{13}, \,\, q_2=3+\sqrt{13}\)
Szukany ciąg ma wzór ogólny postaci \(f(n)=A(3-\sqrt{13})^n+B(3+\sqrt{13})^n\)
Żeby znaleźć A i B trzeba wykorzystać \( \begin{cases} f(0)=A+B=1\\ f(1)=A(3-\sqrt{13})+B(3+\sqrt{13})=4\end{cases}\)
Ten układ rozwiąż samodzielnie, ok?
Odpowiedź: \(f(n)= \frac{13-\sqrt{13}}{26}(3-\sqrt{13})^n+ \frac{13+\sqrt{13}}{26}(3+\sqrt{13})^n\)