obliczanie krzywizny

[suinnmoo]

Obliczyć krzywiznę następujących krzywych
1. okręgu o promieniu \(r\),
2. krzywej parametrycznej \(x(t) = sin^{2} t, y(t) = sin \ t \ cos \ t, dla \ t \in [0; \pi ]\).
3. krzywej \(\gamma (t) = (e^{t}(cos \ t + sin \ t), e^{t}(cos \ t - sin \ t)), t \in [0; \pi ]\).
4. elipsy o półosiach a i b: \(x(t) = a \ cos \ t, y(t) = b \ sin \ t, t \in [0; 2 \pi ],\)
5. wykresu funkcji \(y = x^{3}, x \in [0; \infty ).\)

czy ktoś może spojrzeć mi na moje rozwiązanie i podpowiedź co do reszty?
1)
czyli
\(
x(t)=r \ cos \ t \\
y(t)=r \ sin \ t \\
t \in [0,2 \pi ] \\
K(t) = \frac{r^{2}}{(r^{2})^ \frac{3}{2} } =\frac{r^{2}}{r^{3}} = \frac{1}{r}
\)
2)
\(
x'(t)=2sin \ t \ cos \ t= sin 2 t\\
y'(t)=cos \ t \ cos \ t + sin \ t \ (-sin \ t)= cos^{2}t-sin^{2}t \\
x'(t)^{2}+y'(t)^{2}=(sin2t)^{2}+(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2}= (2sin \ t \ cos \ t)^{2}+cos^{4}t+sin^{4}t-2cos^{2}t \ sin^{2}t= \\
=2cos^{2}t \ sin^{2}t+cos^{4}t+sin^{4}t= (sin^{2}t+cos^{2}t)^{2} \\
\)
czyli:
\(
(sin^{2}t+cos^{2}t)^{2} \neq 0 \ dla \ t>0 \\
parametryzacja \ nie \ jest \ naturalna \\
\\
x''(t)=2 cos(2t) \\
y''(t)=-2sin(2t) -2sin \ t \ cos \ t= -4sin \ t \ cos-2sin \ t \ cos \ t= -6sin \ t \ cos \ t
\)
Zatem krzywizna w chwili \(\ t \in [0; \pi ]\) jest równa:
\(
K(t)= \frac{|(2sin \ t \ cos \ t)( -6sin \ t \ cos \ t )-(cos^{2}t-sin^{2}t)(2 cos(2t))|}{((2sin \ t \ cos \ t)^{2}+(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2})^{ \frac{3}{2} }}= \frac{(-12sin^{2} t \ cos^{2} t)-2(cos^{2}t-sin^{2}t )^{2}}{((sin^{2}t+cos^{2}t)^{2})^{\frac{3}{2}}}= \frac{(-12sin^{2} t \ cos^{2} t)-2(cos^{2}t-sin^{2}t )^{2}}{(sin^{2}t+cos^{2}t)^{3}}
\)