Funkcje cyklometryczne - obliczyć wyrażenia

[agix97]

Cześć, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch przykładów, albo chociaż o podpowiedź, jak należy je rozwiązać (czy tu wykorzystuje się jakieś wzory redukcyjne?)
\(\sin\left(2\arccos \frac{1}{4}\right) \)
\(\cos\left(2\arcsin \frac{1}{4}\right) \)
Dziękuję z góry

[panb]

\(2\arccos \frac{1}{4}=\alpha \iff \arccos \frac{1}{4}= \frac{\alpha}{2} \iff \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right)= \frac{1}{4} \)
Szukamy \(\sin \left(2\arccos \frac{1}{4} \right) \) czyli \(\sin\alpha\)

\(\cos \frac{\alpha}{2}= \frac{1}{4} \So \sin \frac{\alpha}{2}= \frac{\sqrt{15}}{4} \\
\sin\alpha=\sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right)=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}= \frac{\sqrt{15}}{8} \)

Spróbuj to drugie zrobić samodzielnie. Jak coś nie pójdzie - zgłoś się tutaj.
Powinno ci wyjść: \( \frac{7}{8} \)

[agix97]

\(\cos \frac{\alpha}{2}= \frac{1}{4} \So \sin \frac{\alpha}{2}= \frac{\sqrt{15}}{4} \)

Bardzo dziękuję za odpowiedź, niestety niezbyt rozumiem to przejście i skąd wziął się \( \sqrt{15} \), mogę prosić o wyjaśnienie?

[Galen]

\(\sin^2x+\cos^2x=1\\ \cos x=\frac{1}{4}\\ \sin^2x+(\frac{1}{4})^2=1\\ \sin^2x=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\\ \sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}\)