obliczyć krzywiznę spirali Archimedesa.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
korki_fizyka
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: obliczyć krzywiznę spirali Archimedesa.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: obliczyć krzywiznę spirali Archimedesa.
Nie podajesz równania spirali, więc wezmę za Wikipedią:
Spirala Archimedesa jest krzywą określona parametrycznie przez równania:
\( \begin{cases}x=at\cos t\\ y=at\sin t \end{cases}, t\ge 0, a\neq0 \)
Wzór na krzywiznę dla krzywej określonej parametrycznie ma postać:
\[\kappa= \frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{ \left[x'(t)^2+y'(t)^2 \right]^{ \frac{3}{2} } } \]
To właściwie wszystko, co trzeba wiedzieć (oprócz umiejętności liczenia pochodnych).
Policzę pochodne i podam wynik - resztę zrób osobiście.
\[ \begin{cases} x'(t)=a\cos t-at\sin t\\ y'(t)=a\sin t+at\cos t\end{cases},\qquad \begin{cases}x''(t)=-2a\sin t-at\cos t\\ y''(t)=2a\cos t-at\sin t \end{cases} \]
Spirala Archimedesa jest krzywą określona parametrycznie przez równania:
\( \begin{cases}x=at\cos t\\ y=at\sin t \end{cases}, t\ge 0, a\neq0 \)
Wzór na krzywiznę dla krzywej określonej parametrycznie ma postać:
\[\kappa= \frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{ \left[x'(t)^2+y'(t)^2 \right]^{ \frac{3}{2} } } \]
To właściwie wszystko, co trzeba wiedzieć (oprócz umiejętności liczenia pochodnych).
Policzę pochodne i podam wynik - resztę zrób osobiście.
\[ \begin{cases} x'(t)=a\cos t-at\sin t\\ y'(t)=a\sin t+at\cos t\end{cases},\qquad \begin{cases}x''(t)=-2a\sin t-at\cos t\\ y''(t)=2a\cos t-at\sin t \end{cases} \]
Odpowiedź: \(\quad \kappa= \frac{t^2+2}{|a| \left( t^2+1 \right)^ \frac{3}{2} } \)
P.S. Jeśli masz inne równanie spirali, to dostosuj wzory do tego równania, a na przyszłość staraj się dokładniej podawać treść.