Topologia

[mela1015]

Czy funkcja kwadratowa jest odwzorowaniem otwartym?

Odwzorowanie otwarte jest wtedy kiedy dowolny otwarty zbiór w X jest otwarty przez funkcję w Y.

Czy tutaj będzie odpowiedź negatywna? Np. biorąc topologię naturalna z antydyskretną?

[grdv10]

W odwzorowaniu otwartym obraz zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Tu natomiast obraz całej prostej rzeczywistej (czyli zbioru otwartego) jest półosią nieujemną, więc ewidentnie nie jest to zbiór otwarty. Istotnie, zero nie jest jego punktem wewnętrznym (mowa o funkcji \(f(x)=x^2\)).

W topologii jest taki zwyczaj, że jeśli nie określa się o topologii, to mowa o topologii naturalnej. Na prostej topologią naturalną jest euklidesowa.