Przykładowe zadania z geometrii analitycznej

[wvxq]

1. Obliczyć miarę kąta A w trójkącie ABC, jeśli A=(2,0,1), B=(1,2,0), C=(-2,2,3)

2. Obliczyc iloczyn wektorów wektorowy v=2i-3k, w=i-j-4k

3. obliczyć pola podanych powierzchni
a) trójkąta o wierzchołku A=(1,0,1) B=(3,-1,5), C=(-1,5,0)
b)równoległoboku rozpiętego na wektorach a=(1,-1,1), b=(0,3,-2)

4.obliczyć iloczyn mieszany wektorów b=(-5,1,0), c=(-4,3,2), d=(1,2,-3)

5. obliczyć objętość wielościanu ABCD, jeśli A=(7,2,4) B=(7,-1,-2), C=(3,3,1), D=(-4,2,1)

6. Napisac równania ogólne płaszczyzn spelłniających podane warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(-2,1,-1) i jest prostopadła do wektora n=(2,-3,-1)
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty p1=(-1,0,1), p2=(-1,1,-2), p3=(3,1,-3)
c) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(3,0,-1) i jest równoległa do płaszczyzny π1: 2x-y+z-7=0
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(0,-2,3) i jest prostopadła do płaszczyzn π1: 2x-3y+z-4=0, π2: 3x-y+5=0

7. napisac równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
a)prosta przechodzi przez punkt P=(-1,-0,2) i jest równoległa do wektora v=(0,-3,4)
b)prosta przechodzi przez punkty P1=(-1,-4,0), P2=(-2,-4,3)
c) prosta przechodzi przez punkt P=(-2,5,3) i jest prostopadła do płaszczyzny π: 4x-3y-5=0
d)prosta przechodzi przez punkt P=(1,0,-2) i jest prostopadła do wqektorów a=(-2,1,5), b=(-1,4,0)

[panb]

1. Obliczyć miarę kąta A w trójkącie ABC, jeśli A=(2,0,1), B=(1,2,0), C=(-2,2,3)

Tutaj jest wzór.
Kąt A, to kąt przy wierzchołku A wyznaczony przez wektory \(\vec{AC}, \,\, \vec{AB}\)
Liczymy współrzędne tych wektorów: \(\vec{AC}=[-2-2,2-0,3-1]=[-4,2,2]\\
\vec{AB}=[1-2,2-0,0-1]=[-1,2,-1]\)
Teraz długości tych wektorów: \(|\vec{AC}|=\sqrt{16+4+4}=2\sqrt6\\
|\vec{AB}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\)

Teraz liczymy \(\cos(\angle A)= \frac{-4 \cdot (-1)+2 \cdot 2+2 \cdot (-1)}{2\sqrt6\sqrt6} = \frac{1}{2} \). Wobec tego \(|\angle A|=60^ \circ \)

[panb]

2. Obliczyc iloczyn wektorów wektorowy v=2i-3k, w=i-j-4k

Odczytujemy współrzędne wektorów
UWAGA: \(u=u_xi+u_yj+u_zk \iff u=[u_x,u_y,u_z]\)

Wobec tego: \(\vec{v}=[2,0,-3],\quad \vec{w}=[1,-1,-4]\\
\begin{vmatrix}i&j&k\\2&0&-3\\1&-1&-4 \end{vmatrix}=-2k-3j-3i+8j=-3i+5j-2k \So \vec{v} \times \vec{w}=[-3,5,-2]\)

Odpowiedź: Iloczyn wektorowy wektorów \(v=2i-3k, \,\,\,w=i-j-4k\) to wektor \[ \vec{v} \times \vec{w}=-3i+5j-2k\]

[panb]

3. obliczyć pola podanych powierzchni
a) trójkąta o wierzchołku A=(1,0,1) B=(3,-1,5), C=(-1,5,0)

b)równoległoboku rozpiętego na wektorach a=(1,-1,1), b=(0,3,-2)

a) Pole trójkąta o wierzchołku A=(1,0,1) B=(3,-1,5), C=(-1,5,0)
\[P= \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| \] (połowa długości wektora będącego iloczynem wektorowym wektorów\( \vec{AB} \text{ i } \vec{AC}\))

Odpowiedź: \(P= \frac{\sqrt{461}}{2} \)

b) Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec{a}=[1,-1,1], \vec{b}=[0,3,-2]\)
\[P=|\vec{a}\times \vec{b}|\] (długość wektora będącego iloczynem wektorowym wektorów \(\vec{a} \text{ i } \vec{b}\))

Odpowiedź: \(P=\sqrt{14}\)

Jak policzyć wektor będący iloczynem wektorowym i jak liczyć długość wektora - patrz zadania 1) 2)

[korki_fizyka]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=49&t=12617
pkt. 14 i nie tylko

[radagast]

7. napisac równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
a)prosta przechodzi przez punkt P=(-1,-0,2) i jest równoległa do wektora v=(0,-3,4)

a)
parametryczne: \( \begin{cases}x=-1\\y=-3t\\z=4t+2 \end{cases} \)
kierunkowe: \( \frac{x+1}{0}=\frac{y}{-3} =\frac{z-4}{4} \)

[korki_fizyka]

4.obliczyć iloczyn mieszany wektorów b=(-5,1,0), c=(-4,3,2), d=(1,2,-3)

http://www.pg.gda.pl/cnm/pracownicy/jol ... ry_ilm.pdf

[korki_fizyka]

5. obliczyć objętość wielościanu ABCD, jeśli A=(7,2,4) B=(7,-1,-2), C=(3,3,1), D=(-4,2,1)

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=132413

Wniosek: wystarczy otworzyć podręcznik lub wklepać w gugla i przepisać.