Rozważmy następującą topologię w \( \rr \)\[t:= \{U \subset \rr \colon \rr\setminus U \text{- skończony lub } 0 \notin U\}\]
Czy istnieje przeliczalna baza otoczeń w punkcie 0? Odpowiedź uzasadnić.
topologia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: topologia
Nie istnieje przeliczalna baza otoczeń zera w tej topologii.
Niech \(\mathcal{U}=\{U_n\colon n\in\Bbb N\}\) będzie przeliczalną rodziną otoczeń zera. Oznacza to, że dla każdego \(n\in\Bbb N\) zbiór \(A_n=\Bbb R\setminus U_n\) jest skończony. Tak więc zbiór \[A:=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\] jest (co najwyżej) przeliczalny. Istnieje więc element \(x\not\in A\) oraz \(x\ne 0\). Niech \(U:=\Bbb R\setminus \{x\}.\) Jest to więc otwarte otoczenie zera. Jeśli \(U_n\subset U\) dla pewnego \(n\), to \(\{x\}=\Bbb R\setminus U\subset \Bbb R\setminus U_n=A_n.\) Przeczy to konstrukcji zbioru \(A\) i zarazem pokazuje, że żaden element omawianej rodziny \(\mathcal{U}\) nie zawiera się w \(U\). Tak więc żadna przeliczalna rodzina otoczeń zera nie może być bazą otoczeń zera.
Niech \(\mathcal{U}=\{U_n\colon n\in\Bbb N\}\) będzie przeliczalną rodziną otoczeń zera. Oznacza to, że dla każdego \(n\in\Bbb N\) zbiór \(A_n=\Bbb R\setminus U_n\) jest skończony. Tak więc zbiór \[A:=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\] jest (co najwyżej) przeliczalny. Istnieje więc element \(x\not\in A\) oraz \(x\ne 0\). Niech \(U:=\Bbb R\setminus \{x\}.\) Jest to więc otwarte otoczenie zera. Jeśli \(U_n\subset U\) dla pewnego \(n\), to \(\{x\}=\Bbb R\setminus U\subset \Bbb R\setminus U_n=A_n.\) Przeczy to konstrukcji zbioru \(A\) i zarazem pokazuje, że żaden element omawianej rodziny \(\mathcal{U}\) nie zawiera się w \(U\). Tak więc żadna przeliczalna rodzina otoczeń zera nie może być bazą otoczeń zera.