topologia

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 470
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 224 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

topologia

Post autor: mela1015 » 14 gru 2019, 11:38

Rozważmy następującą topologię w \( \rr \)\[t:= \{U \subset \rr \colon \rr\setminus U \text{- skończony lub } 0 \notin U\}\]
Czy istnieje przeliczalna baza otoczeń w punkcie 0? Odpowiedź uzasadnić.

Awatar użytkownika
szw1710
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 244
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 66 razy
Płeć:

Re: topologia

Post autor: szw1710 » 04 sty 2020, 18:05

Nie istnieje przeliczalna baza otoczeń zera w tej topologii.

Niech \(\mathcal{U}=\{U_n\colon n\in\Bbb N\}\) będzie przeliczalną rodziną otoczeń zera. Oznacza to, że dla każdego \(n\in\Bbb N\) zbiór \(A_n=\Bbb R\setminus U_n\) jest skończony. Tak więc zbiór \[A:=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\] jest (co najwyżej) przeliczalny. Istnieje więc element \(x\not\in A\) oraz \(x\ne 0\). Niech \(U:=\Bbb R\setminus \{x\}.\) Jest to więc otwarte otoczenie zera. Jeśli \(U_n\subset U\) dla pewnego \(n\), to \(\{x\}=\Bbb R\setminus U\subset \Bbb R\setminus U_n=A_n.\) Przeczy to konstrukcji zbioru \(A\) i zarazem pokazuje, że żaden element omawianej rodziny \(\mathcal{U}\) nie zawiera się w \(U\). Tak więc żadna przeliczalna rodzina otoczeń zera nie może być bazą otoczeń zera.
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.