Zadania z kwantyfikatorów

[agrest321]

Witam.
Mógłby ktoś pomóc z tymi zadaniami, niekoniecznie z rozwiązaniem wszystkich; może być jedno z każdego, tylko potrzebowałbym wyjaśnienia jak się za to mam zabrać. Z góry dziękuję za pomoc.


Zad. 1 Udowodnij prawa rachunku kwantyfikatorów:
(a) ¬(∀x)(φ(x))←→(∃x)(¬φ(x))
(b) (∃x)(φ(x)∨ψ(x))←→(∃x)(φ(x))∨(∃x)(ψ(x))
(c) (∀x)(φ(x))∨(∀x)(ψ(x))→(∀x)(φ(x)∨ψ(x))

Zad. 2 Niech φ i ψ oznaczaj¡ formuły rachunku kwantyfikatorów być może zawierające zmienną x. Sprawdź, które z poniższych formuł są prawami rachunku kwantyfikatorów:
1. (∀x)(φ(x)∨ψ(x))→(∀x)(φ(x))∨(∀x)(ψ(x))
2. (∀x)(φ(x)∧ψ(x))→(∀x)(φ(x))∧(∀x)(ψ(x))
3. (∀x)(φ(x)→ψ(x))→(∀x)(φ(x))→(∀x)(ψ(x))
4. (∀x)(φ(x))∨(∀x)(ψ(x))→(∀x)(φ(x)∨ψ(x))
5. (∀x)(φ(x))∧(∀x)(ψ(x))→(∀x)(φ(x)∧ψ(x))

[panb]

Przyjmijmy, że dziedzina formy zdaniowej \( \varphi(x)=X\).
Wtedy

1. \(\lnot \forall x \left( \varphi(x)\right) \iff \{x\in X: \varphi(x)\}'\neq \emptyset \iff \{x\in X: \lnot \varphi(x)\}\neq \emptyset \iff \exists x \left(\lnot \varphi(x) \right) \)
2. spróbuj samodzielnie
3. \( \forall x \left[ \varphi(x)\right] \vee \forall x \left[ \psi(x) \right] \iff \{x: \varphi(x)\}=X \vee \{x: \psi(x)\}=X\So \\
   \So \{x: \varphi(x)\} \cup \{x: \psi(x)\}=X \iff \forall x \left[\varphi(x) \vee \psi(x) \right] \)