Rownanie rozniczkowe drugiego stopnia metoda Laplace'a

[cFFaniak]

2x"+3x'+x=4 , przyjmując warunki początkowe x (0)=1 x'(0)=1

[kerajs]

\(2(s^2L(x)-sx(0)-x'(0))+3(sL(x)-x(0))+L(x)= \frac{4}{s}\\
(2s^2+3s+1)L(x) -2s-2-3= \frac{4}{s} \\
L(x)= \frac{2s^2+5s+4}{s(s+1)(2s+1)}\)
Dalej liczysz po residuach lub rozkładasz prawą stronę na ułamki proste.

[cFFaniak]

Po rozkładzie na ułamki proste dostałem takie coś:
\(\frac{2s^2+5s+4}{s(s+1)(2s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{2s+1}\)

Po obliczeniach:
A= 4
B= 1
C= -8

\(x(s)=4L^{-1}[ \frac{1}{s}]+L^{-1}[ \frac{1}{s+1}]-4L^{-1}[ \frac{1}{s+ \frac{1}{2} } ]\)
\(x(t)=4+e^{-x}-4e^{ \frac{-1}{2} x}\)

[kerajs]

Zawsze możesz dokonać sprawdzenia:
\(x'=-e^{-x}+2e^{ \frac{-x}{2} }\\
x''=e^{-x}-e^{ \frac{-x}{2} }\\
L=2x"+3x'+x=2(e^{-x}-e^{ \frac{-x}{2} })+3(-e^{-x}+2e^{ \frac{-x}{2} })+(4+e^{-x}-4e^{ \frac{-x}{2} })=4=P\)