Wykazac ze jesli a nalezy do przedzialu (-pi/2 , 0) oraz (0,pi/2) , to cos(a) < sin(a)/a < 1
i cos(a) >= 1 - /a/ .<==== (wartosc bezwzgledna)
a oznacza ilosc radianow
dowod z trygonometri
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: dowod z trygonometri
Nikt się jakoś nie kwapi , bo łatwe to to nie jest (wbrew pozorom) . Spróbuję przynajmniej fragment. Np ten:
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
czyli
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(sin(a) <a\)
rozważmy funkcję \(f(a)=\sin(a)-a\) określoną w przedziale \(a \in \left< 0, \frac{ \pi }{2} \right>\)
Zauważmy,że
1) \(f(0)=0\)
2) \(f'(a)=\cos(a)-1 < 0\) czyli \(f\) maleje w przedziale \(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\)
wniosek :w przedziale \(\left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne czyli
\(\sin(a)-a<0\) czyli \(\sin(a)<a\) czyli \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
cbdo
Analogicznie można pokazać w przedziale \((- \frac{ \pi }{2},0)\) oraz wszystkie pozostałe nierówności.
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
czyli
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(sin(a) <a\)
rozważmy funkcję \(f(a)=\sin(a)-a\) określoną w przedziale \(a \in \left< 0, \frac{ \pi }{2} \right>\)
Zauważmy,że
1) \(f(0)=0\)
2) \(f'(a)=\cos(a)-1 < 0\) czyli \(f\) maleje w przedziale \(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\)
wniosek :w przedziale \(\left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne czyli
\(\sin(a)-a<0\) czyli \(\sin(a)<a\) czyli \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
cbdo
Analogicznie można pokazać w przedziale \((- \frac{ \pi }{2},0)\) oraz wszystkie pozostałe nierówności.