dowod z trygonometri

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dandon223
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 18 sty 2018, 20:55
Podziękowania: 17 razy
Płeć:

dowod z trygonometri

Post autor: dandon223 » 08 paź 2018, 07:10

Wykazac ze jesli a nalezy do przedzialu (-pi/2 , 0) oraz (0,pi/2) , to cos(a) < sin(a)/a < 1
i cos(a) >= 1 - /a/ .<==== (wartosc bezwzgledna)
a oznacza ilosc radianow

radagast
Guru
Guru
Posty: 17050
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: dowod z trygonometri

Post autor: radagast » 08 paź 2018, 12:42

Nikt się jakoś nie kwapi , bo łatwe to to nie jest (wbrew pozorom) . Spróbuję przynajmniej fragment. Np ten:
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
czyli
\(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) to \(sin(a) <a\)
rozważmy funkcję \(f(a)=\sin(a)-a\) określoną w przedziale \(a \in \left< 0, \frac{ \pi }{2} \right>\)
Zauważmy,że
1) \(f(0)=0\)
2) \(f'(a)=\cos(a)-1 < 0\) czyli \(f\) maleje w przedziale \(a \in \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\)
wniosek :w przedziale \(\left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne czyli
\(\sin(a)-a<0\) czyli \(\sin(a)<a\) czyli \(\frac{\sin(a)}{a} <1\)
cbdo
Analogicznie można pokazać w przedziale \((- \frac{ \pi }{2},0)\) oraz wszystkie pozostałe nierówności.