Geometria analityczna

[justkisiel]

Obliczyć kąt jaki tworzy płaszczyzna \pi przechodząca przez punkty A(0,0,0), B(1,-1,0), C(1,1,1) z płaszczyzną OXY oraz kąt jaki tworzy ta płaszczyzna z osią OX.

[radagast]

Obliczyć kąt jaki tworzy płaszczyzna \pi przechodząca przez punkty A(0,0,0), B(1,-1,0), C(1,1,1) z płaszczyzną OXY oraz kąt jaki tworzy ta płaszczyzna z osią OX.

\(\vec{AB} = \left[ 1,-1,0\right]\)
\(\vec{AC} = \left[ 1,1,1\right]\)
\(\vec{AB} \times\vec{AC}= \left[ 1,-1,0\right] \times \left[ 1,1,1\right]=\left[-1,-1,2 \right]\) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny \(ABC\), a wektor \(\left[0,0,1 \right]\) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny \(OXY\), zatem kąt między nimi jest taki jak kąt między płaszczyznami , a jego cosinus wynosi \(\frac{2}{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}\).

Oś \(OX\) jest równoległa do wektora \(\left[1,0,0 \right]\), który tworzy z wektorem normalnym płaszczyzny \(ABC\), kąt o cosinusie równym \(\frac{ \sqrt{6} }{6}\), a z płaszczyzną tworzy kąt o 90 mniejszy (lub, jak kto woli, o 90 większy - na jedno wychodzi )