forum.zadania.info

Witam.
Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu tego zadania. Polega na znalezieniu ekstremów tego funkcjonału:

\(F(u)= \int_{2}^{1}((2x+x^{2}u')e^{u}-x^2-3u^2u')dx\)

\(\\ u(1)=1 \\ u(e)=0\)

Korzystałem ze wzoru:

\(\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right)- \frac{\partial L}{\partial u}=0\)

\(L(u, u', x)= (2x + x^2u')e^{u} -x^2 -3u^2u'\)

\(\frac{\partial L}{\partial u'}= x^2e^{u} - 3u^2\)

\(\frac{\partial L}{ \partial u}= 2x e^{u} + x^2u'e^{u}- 6uu'\)

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial u'}\right) = 2xe^{u}\)

Równanie Eulera-Lagrange'a:

\(2xe^{u} - 2xe^{u} - x^2u'e^{u} +6uu' =0\)

\(-x^2u'e^{u}+6uu' =0\)

W tym miejscu nie wiem jak to rozwiązać.

\(-x^2u'e^u+6uu'=0 \iff u'(6u-x^2e^u)=0 \iff u'=0 \vee x^2e^u=6u \iff u=C \vee \frac{x^2}{6}= \frac{u}{e^u}\)
\(\frac{x^2}{6}= \frac{u}{e^u} \iff \frac{x^2}{6}=ue^{-u} / \cdot (-1) \iff - \frac{x^2}{6}=-ue^{-u} \So -u=W \left( - \frac{x^2}{6} \right) \iff u=-W \left(- \frac{x^2}{6} \right)\),
gdzie \(W\) jest funkcją W Lamberta określaną tak: \[z=xe^x \So x=W(z)\] Reasumując rozwiązaniem tego równania jest \(u=C\) lub \(u=-W \left(- \frac{x^2}{6} \right)\)

Coś ci to mówi?

Teraz mówi. Dziękuję za udzielenie pomocy