Równania różniczkowe HELP!

[chaki1501]

1. Rozwiązać następujące równania rzędu drugiego przez sprowadzenie do równań rzędu pierwszego
\(t^2 y'' = (y')^2\)
Odpowiedź:\(y(t) = \frac{1}{C_1} (t- \frac{1}{C_1}) \ln |C_1t + 1| + C_2\)\(\ dla\ C_1 \neq 0\) , \(y(t) = \frac{t^2}{2} + C\)
2. Rozwiązać równanie lub układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a.
\(y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t} + t^3, y(0) = 2, y'(0) = 6.\)
3. Zadanie z rachunku wariacyjnego. Znaleźć ekstremale funkcjonału.
F(u) = \(\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{1+u'^2}{u}} du , u(0) = 4, u(2) = 2.\)

[radagast]

1. Rozwiązać następujące równania rzędu drugiego przez sprowadzenie do równań rzędu pierwszego
\(t^2 y'' = (y')^2\)
Odpowiedź:\(y(t) = \frac{1}{C_1} (t- \frac{1}{C_1}) \ln |C_1t + 1| + C_2\) dla C1 różnego od 0 , y(t) = ( t^2 / 2) + C

Niech \(u=y'\)
wtedy \(u'=y''\)
i mamy tak: \(t^2u'=u^2\)
czyli:
\(t^2 \frac{du}{dt} =u^2\)
\(\frac{du}{u^2} = \frac{dt}{t^2}\)
\(\int_{}^{} \frac{du}{u^2} = \int_{}^{} \frac{dt}{t^2}\)
\(\frac{1}{u}= \frac{1}{t}+C_1\)
\(u= \frac{t}{1+C_1t }\)
\(\frac{dy}{dt} = \frac{t}{1+C_1t }\)
\(dy = \frac{t}{1+C_1t }dt\)
\(\int_{}^{} dy = \int_{}^{} \frac{t}{1+C_1t }dt\)
1) jeśli \(C_1 \neq 0\), to możemy zapisać:
\(y= \frac{1}{C_1} \int_{}^{} \frac{1+C_1t-1}{1+C_1t }dt\)
\(y= \frac{1}{C_1} \int_{}^{} 1- \frac{1}{1+C_1t }dt\)
\(y= \frac{1}{C_1}t- \frac{1}{C_1^2} \int \frac{C_1}{1+C_1t }dt\)
\(y= \frac{1}{C_1}t- \frac{1}{C_1^2} \ln|1+C_1t|+C_2\)
2) jeśli \(C_1 = 0\), to:
\(\int_{}^{} dy = \int tdt\)
czyli \(y= \frac{t^2}{2}+C_3\)

[chaki1501]

Dziękuję!
Jakieś propozycje do 2 i 3 zadania?

[radagast]

Poprawiłam zapis. Zobacz, czy przy okazji nie pozmieniałam treści zadań

[chaki1501]

zadanie drugie = t^2 * e^3t + t^3
3t jest całe w wykładniku potęgi

[radagast]

poprawiłam