Styczne.

[Eko140]

1. Równania stycznych do hiperboli x2−y2 = 8 równoległych do prostej 3x−y−17 = 0.
2.Równanie stycznej do paraboli y2 = 12x prostopadłej do prostej 3x − y − 17 = 0, to?
3.Równania stycznych do elipsy x2 + 2y2 = 32 równoległych do prostej x − 2y = 0, to?

[eresh]

1. Równania stycznych do hiperboli x2−y2 = 8 równoległych do prostej 3x−y−17 = 0.

styczna ma postać
\(y=3x+b\)

równanie \(x^2-(3x+b)^2=8\) musi mieć jedno rozwiązanie

\(x^2-9x^2-6xb-b^2-8=0\\
-8x^2-6xb-b^2-8=0\\
\Delta=0\\
36b^2-4\cdot (-8)\cdot (-b^2-8)=0\\
36b^2-32(b^2+8)=0\\
4b^2-256=0\\
b^2-64=0\\
b=\pm 8\\
y=3x+8\\
y=3x-8\)

[eresh]

2.Równanie stycznej do paraboli y2 = 12x prostopadłej do prostej 3x − y − 17 = 0, to?

\(y=3x-17\)
styczna jest postaci:
\(y=-\frac{1}{3}x+b\)

\((-\frac{1}{3}x+b)^2=12x\\
\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}xb+b^2-12x=0\\
x^2+x(-6b-108)+9b^2=0\\
\Delta = 36(b^2+36b+324)-36b^2\\
b^2+36b+324-b^2=0\\
b=-9
y=-\frac{1}{3}x-9\)

[eresh]

3.Równania stycznych do elipsy x2 + 2y2 = 32 równoległych do prostej x − 2y = 0, to?

\(y=\frac{1}{2}x+b\)

\(x^2+2(0,5x+b)^2=32\\
x^2+0,5x^2+2xb+2b^2=32\\
1,5x^2+2xb+2b^2-32=0\\
\Delta = 4b^2-6(2b^2-32)\\
4b^2-12(b^2-16)=0\\
b^2-3(b^2-16)=0\\
-2b^2+48=0\\
b=\pm 2\sqrt{6}\\
y=0,5x+2\sqrt{6}\;\;\; \vee \;\;\;y=0,5x-2\sqrt{6}\)