stereometria

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Monicz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 01 cze 2017, 20:11
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

stereometria

Post autor: Monicz » 02 cze 2017, 19:00

3. W prosty ścięty stożek wpisano kulę o promieniu r=2 cm, której objętość ma się do objętości stożka jak 8:21. Oblicz promienie obu podstaw stożka.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1447
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 609 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 03 cze 2017, 08:36

Niech szukanymi promieniami będą \(R_1 \ , \ R_2 \ (R_1>R_2)\), a H wysokością nieściętego stożka.
Z tw.Pitagorasa:
\((R_1-R_2)^2+(2r)^2=(R_1+R_2)^2\\
4r^2=2R_12R_2\\
R_1R_2=r^2\)

Z tw.Talesa
\(\frac{H}{R_1}= \frac{H-2r}{R_2}\\
H(R_1-R_2)=2rR_1\)

Z treści zadania:
\(\frac{8}{21}= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \pi R_1^2H- \frac{1}{3} \pi R_2^2(H-2r)} \\
\frac{8}{21}= \frac{ 4 r^3 }{ H( R_1^2- R_2^2)+R_2^22r)}\\
\frac{8}{21}= \frac{ 4 r^3 }{ ( R_1+ R_2)2rR_1+2rR_2^2)}\\
21r^2=4(R_1^1+ R_2R_1+R_2^2)\\
17r^2=4R_1^2+4 (\frac{r^2}{R_1})^2 \\
4R_1^4-17r^2R_1^2+4r^4=0\\
R_1=2r \wedge R_2= \frac{r}{2}\)

Monicz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 01 cze 2017, 20:11
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: stereometria

Post autor: Monicz » 03 cze 2017, 15:09

Czy mógłbyś mi wytłumaczyć w jaki sposób zapisałeś V ściętego walca ? Bo coś nie mogę zrozumieć , Z góry dziękuję :)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1447
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 609 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kerajs » 03 cze 2017, 15:45

ss.png
kerajs pisze:Niech szukanymi promieniami będą \(R_1 \ , \ R_2 \ (R_1>R_2)\), a H wysokością nieściętego stożka.

Od objętości stożka nieściętego (o promieniu podstawy R_1 i wysokości H) odjąłem objętość odciętego stożka (o promieniu podstawy R_2 i wysokości H-2r)

\(V= \frac{1}{3} \pi R_1^2H- \frac{1}{3} \pi R_2^2(H-2r)= \frac{1}{3} \pi 2r(R_1^1+ R_2R_1+R_2^2)\)
choć moglem użyć gotowego wzoru:
\(V= \frac{1}{3} \pi (R_1^1+ R_2R_1+R_2^2)h\)
gdzie h to wysokość ściętego stożka.
kerajs pisze: \(\frac{8}{21}= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \pi R_1^2H- \frac{1}{3} \pi R_2^2(H-2r)} \\
\frac{8}{21}= \frac{ 4 r^3 }{ H( R_1^2- R_2^2)+R_2^22r)}\\
\frac{8}{21}= \frac{ 4 r^3 }{ ( R_1+ R_2)2rR_1+2rR_2^2)}\)
Taki wzór na objętości stożka ściętego pojawia się w mianowniku pierwszej linijki.
Drugą uzyskałem przez skrócenie prawego ułamka o \(\frac{1}{3} \pi\)
W trzeciej wstawiłem za H wartość wyliczoną z tw.Talesa.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.