funkcje

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Monicz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 01 cze 2017, 20:11
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

funkcje

Post autor: Monicz » 01 cze 2017, 22:37

Niech f : N → N, gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych (począwszy od zera), będzie funkcją, taką że f(2n) = f(2n + 1) = n dla każdego n ∈ N. Dla dowolnego naturalnego k > 0 oznaczmy przez fk(n) liczbę f(f(...f(n)...)), gdzie symbol f występuje k razy. Ile rozwiązań ma równanie f2013(n) = 1?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1443
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 607 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 01 cze 2017, 23:48

\(f(2)=1\\
f(3)=1\\
f(f(4))=f(2)=1\\
f(f(5))=f(2)=1\\
f(f(6))=f(3)=1\\
f(f(7))=f(3)=1\\
f(f(f(8)))=f(f(4))=f(2)=1\\
f(f(f(9)))=f(f(4))=f(2)=1\\
f(f(f(10)))=f(f(5))=f(2)=1\\
f(f(f(11)))=f(f(5))=f(2)=1\\
f(f(f(12)))=f(f(6))=f(3)=1\\
f(f(f(13)))=f(f(6))=f(3)=1\\
f(f(f(14)))=f(f(7))=f(3)=1\\
f(f(f(15)))=f(f(7))=f(3)=1\\\)

Wygląda na to że równanie \(f_{2013} (n)=1\) ma \(2^{2013}\) rozwiązań i są nimi liczby \(n \in \left\{ 2^{2013},2^{2013}+1,2^{2013}+2,.....,2^{2014}-1\right\}\)