Styczne do paraboli

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Styczne do paraboli

Post autor: NieRozumiem85 » 26 sty 2017, 19:04

Udowodnić, że jeżeli poprowadzić styczne do paraboli z dowolnego punktu leżącego na kierownicy, to prosta łącząca punkty styczności przechodzi przez ognisko tej paraboli.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 27 sty 2017, 21:45

Można skorzystać lub wyprowadzić równanie stycznej do paraboli \(y^2=2px\) w punkcie \((x_0,y_0)\) lezącym na paraboli :
To\(\\)\(\\) \(y_o \cdot y=p(x+x_0)\)
.............................................................................................................................
Niech \(A=( -\frac{p}{2},y_A)\) to dowolny ale ustalony punkt na kierownicy paraboli
wtedy para stycznych poprowadzonych z tego punktu do paraboli , spełnia równania :
\(\begin{cases} y_1 \cdot y=p(x+x_1)\\ y_2 \cdot y=p(x+x_2)\end{cases}\)
gdzie \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) to te dwa punkty styczności .
.............................................................................................................................
powyższe dwie styczne przechodzą przez punkt \(A\) kierownicy czyli :
\(\begin{cases} y_1 \cdot y_A=p(-\frac{1}{2}p+x_1)\\ y_2 \cdot y_A=p(-\frac{1}{2}p+x_2)\end{cases}\)
rugując z nich \(y_A\) dostajemy :
\(\frac{1}{2}p(y_2-y_1)=y_2x_1-y_1x_2\)
.............................................................................................................................
prosta wyznaczona przez punkty styczności to
\((y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\)
..............................................................................................................................
należy pokazać , że \(( \frac{1}{2} p ,0)=F \in (y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\)
czyli : \((0-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)( \frac{1}{2} p -x_1)\)
wymnażając sensownie dostajemy :
\(\frac{1}{2}p(y_2-y_1)= y_2x_1-y_1x_2\)
czyli ta sieczna wyznaczona przez punkty styczności przechodzi przez ognisko elipsy