Równania wielomianowe z parametrem

[mahidevran]

1. Dla jakich wartosci parametru m rozwiazania x1,x2,x3 równania x^3 - 9x^2 +26x +m=0 spełniają warunki x2=x1+r x3= x1+2r? Wyznacz rozwiązania tego równania.
2. Wykaż ze dla kazdej wartosci parametru m (meR) równania x^3 + 2x + m^2x=2m^2 + 2x^2 +4 ma tylko jedno rozwiązanie.
Proszę o pomoc z góry dziękuje

[MrMath]

Zad. 2
\(x^3-2x^2+x(m^2+2)-2m^2-4=0\)
\(x^3-2x^2+x(m^2+2)-2(m^2+2)=0\)
\(x^2(x-2)+(m^2+2)(x-2)=0\)
\((x-2)(x^2+m^2+2)=0\)
Jedynym rozwiązaniem jest \(x=2\), gdyż wyróżnik drugiego czynnika jest ujemny dla \(m \in \rr\)

[Galen]

Zad.1
\(x^3-9x^2+26x+m=0\\dla\\x_1=a\\x_2=a+r\\x_3=a+2r\)
\((x-a)(x-a-r)(x-a-2r)=(x^2-ax-rx-ax+a^2+ar)(x-a-2r)=\\=(x^2-2ax-rx+a^2+ar)(x-a-2r)=\\
=x^3-ax^2-2rx^2-2ax^2+2a^2x+4arx-rx^2+arx+2r^2x+a^2x-a^3-2a^2r+arx-a^2r-2ar^2=\\
=x^3+(-3a-3r)x^2+(3a^2+6ar+2r^2)x+(-a^3-3a^2r-2ar^2)=x^3-9x^2+26x+m\)
\(\begin{cases}-3a-3r=-9\\3a^2+6ar+2r^2=26 \end{cases}\)
\(\begin{cases} a+r=3\;\;\;to\;\;\;\;r=3-a\;\;\;i\;\;r^2=9-6a+a^2\\3a^2+6a(3-a)+2(9-6a+a^2)=26\end{cases}\)
Obliczasz a.
\(-a^2+6a-8=0\\a_1=2\;\;\;\;\;wtedy\;\;\;\;r=1\\lub\\a_2=4\;\;\;\;\;wtedy\;\;\;r=-1\)
W każdym przypadku policz m z wzoru:
\(m=-(a^3+3a^2+2ar^2)\)

Przelicz to samodzielnie,bo ja już nic nie widzę na monitorze...