izometria

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 186 razy

izometria

Post autor: mela1015 » 17 sty 2017, 16:09

Wiedząc, że \(A=(3,-4)\) \(B=(1,1)\) \(C=(0,0)\) wskazać wszystkie izometrie \(f: \rr ^2 \to \rr ^2\) takie,że \(A,B \in Fix(f)\). Wyznaczyć obraz punktu C dla każdego z tych przekształceń .

radagast
Guru
Guru
Posty: 16749
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 17 sty 2017, 16:39

Podejrzewam, że \(Fix(f)\) oznacza zbiór punktów stałych. Proszę o potwierdzenie.
Jeśli tak, to izometrie są dwie.

mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 186 razy

Re:

Post autor: mela1015 » 17 sty 2017, 18:07

radagast pisze:Podejrzewam, że \(Fix(f)\) oznacza zbiór punktów stałych. Proszę o potwierdzenie.
Jeśli tak, to izometrie są dwie.
Tak jest to zbiór punktów stałych.

mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 186 razy

Post autor: mela1015 » 17 sty 2017, 18:08

Zatem jak wykazać te izometrie i obraz punktu C?

radagast
Guru
Guru
Posty: 16749
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 17 sty 2017, 18:36

Jedna to identycznosc, a druga to symetria względem prostej AB.
W pierwszym przypadku
C'=(0,0), a w drugim....
Należy napisać równanie prostej AB,potem prostopadłej, równanie okręgu..... Dużo pracy, albo posłużyć się gotowym wzorem.

mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 186 razy

Post autor: mela1015 » 17 sty 2017, 19:23

Jakim wzorem?

radagast
Guru
Guru
Posty: 16749
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Re: izometria

Post autor: radagast » 17 sty 2017, 21:34

ja go nie znam :( ale pewnie jakiś wzór na znajdowanie obrazu punktu w symetrii osiowej da się wyprowadzić. Może ktoś już to kiedyś zrobił (?)

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: izometria

Post autor: Panko » 17 sty 2017, 23:08

może tak ?
\(f( (x,y))=( ax+by+e,cx+dy+f) =\begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} e \\ f\end{bmatrix}\)
\(f( (1,1)=(1,1)\) , \(f( (3,-4))=(3,-4)\) , brakuje trzeciego punktu , z prostej już nie bo tam sa tylko punkty stałe szukanej symetrii osiowej i każdny inny jest kombinacją liniową tych danych dwóch.
.........................................
biorę do rachunku np punkt \((1,1)\) ,jest to środek odcinka o końcach \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) , i prosta \(y=-\frac{5}{2} x +
\frac{7}{2}\)
jest jego symetralną
wtedy punkty \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) leżą na : \(y=\frac{2}{5} x +
\frac{3}{5}\)
;
dostję układ \(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=1\\ \frac{y_1+y_2}{2}=1 \\ y_1=\frac{2}{5} x_1 +
\frac{3}{5}\\ y_2=\frac{2}{5} x_2 +
\frac{3}{5} \end{cases}\)

dobieram sensowne \(x_2=-4\) . czyli \(x_1=6\) , czyli \(y_1=3\) , czyli \(y_2=-1\)
Stąd \(f( (6,3))=(-4,-1)\)
.........................................
teraz trzeba to przerzucić do układu równań
\(\begin{cases}a+b+e=1\\ c+d+e=1\\ 3a-4b+e=3\\3c-4d+f=-4\\6a+3b+e=-4\\6c+3d+f=-1 \end{cases}\)
..........................................
wisać do https://www.wolframalpha.com i dostajemy żądane współczynniki
........................................
Ale należy dokładnie sprawdzić powyższe rachunki , i zapewne ten sposób rachowania to jest wstęp do koszmaru