optymalizacja

[naturaMF]

1. znajdź prostokąt, który przy danym obwodzie ma największe pole
2. znajdź prostokąt, który przy danym polu ma najmniejszy obwód

[radagast]

1. znajdź prostokąt, który przy danym obwodzie ma największe pole

\(P(x,y)=xy\)
\(2x+2y=d \So y=d-2x\)
zatem
\(P(x)=x \left( d-2x\right)=2x \left( \frac{d}{2} -x\right)\)-parabola o miejscach zerowych \(0\) oraz \(\frac{d}{2}\)
Największa wartość dla \(x= \frac{d}{4}\)
Odp. Kwadrat

[Panko]

Dwa pytania w jednym : troczę przewrotnie
dla dowolnych \(x,y \in R\) jest \(\\) \(0 \le (x-y)^2\)
równość ma miejsce tylko wtedy gdy \(x=y\)
co po przekształceniu daje nierówność \(\\)\(\\) \(4xy \le (x+y)^2\)
.............................................................................................................
ograniczam się do \(x,y>0\) : długości boków prostokąta
\(Obw= 2(x+y)\) , \(\\) \(Pole= xy\)
.............................................................................................................
\(16 \cdot Pole \le\)\((Obw)^2\)
.............................................................................................................
teraz przykład interpretacji w języku zadania :
a) niech pole prostokąta jest dane i wynosi \(Pole=S\)
wtedy z nierówności \(\sqrt{16S} \le Obw(x,y)\) widać ,że najmniejszy obwód ma kwadrat , bo równość ma miejsce gdy \(x=y\)
b) niech obwód prostokąta jest dany i wynosi \(Obw=O\)
wtedy z nierówności \(Pole(x,y) \le \frac{O^2}{16}\) \(\\) widać ,że największe pole ma kwadrat , bo równość ma miejsce gdy \(x=y\)
.............................................................................................................