optymalizacja

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
naturaMF
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 02 sty 2017, 15:21
Podziękowania: 29 razy

optymalizacja

Post autor: naturaMF » 15 sty 2017, 20:04

1. znajdź prostokąt, który przy danym obwodzie ma największe pole
2. znajdź prostokąt, który przy danym polu ma najmniejszy obwód

radagast
Guru
Guru
Posty: 16749
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Re: optymalizacja

Post autor: radagast » 15 sty 2017, 20:15

naturaMF pisze:1. znajdź prostokąt, który przy danym obwodzie ma największe pole
\(P(x,y)=xy\)
\(2x+2y=d \So y=d-2x\)
zatem
\(P(x)=x \left( d-2x\right)=2x \left( \frac{d}{2} -x\right)\)-parabola o miejscach zerowych \(0\) oraz \(\frac{d}{2}\)
Największa wartość dla \(x= \frac{d}{4}\)
Odp. Kwadrat

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: optymalizacja

Post autor: Panko » 15 sty 2017, 22:39

Dwa pytania w jednym : troczę przewrotnie
dla dowolnych \(x,y \in R\) jest \(\\) \(0 \le (x-y)^2\)
równość ma miejsce tylko wtedy gdy \(x=y\)
co po przekształceniu daje nierówność \(\\)\(\\) \(4xy \le (x+y)^2\)
.............................................................................................................
ograniczam się do \(x,y>0\) : długości boków prostokąta
\(Obw= 2(x+y)\) , \(\\) \(Pole= xy\)
.............................................................................................................
\(16 \cdot Pole \le\)\((Obw)^2\)
.............................................................................................................
teraz przykład interpretacji w języku zadania :
a) niech pole prostokąta jest dane i wynosi \(Pole=S\)
wtedy z nierówności \(\sqrt{16S} \le Obw(x,y)\) widać ,że najmniejszy obwód ma kwadrat , bo równość ma miejsce gdy \(x=y\)
b) niech obwód prostokąta jest dany i wynosi \(Obw=O\)
wtedy z nierówności \(Pole(x,y) \le \frac{O^2}{16}\) \(\\) widać ,że największe pole ma kwadrat , bo równość ma miejsce gdy \(x=y\)
.............................................................................................................