geometria

[mela1015]

Niech trójkąt ABC będzie dowolnym trójkątem, a punkt G punktem przecięcia jego środkowych AA', BB', CC'. Niech P oznacza pole trójkąta ABC.

a)Jaka część liczby P stanowi pole trójkąta A'AB ?
b) Jaka część liczby P stanowi pole trójkąta BGC ?
c) Wyznacz różnice pole trójkąta BGA' - pole trójkąta CGB'

[Galen]

Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie G.Punkt G dzieli każdą ze środkowych w stosunku \(2\;:\;1\) ,licząc od wierzchołka.
Stąd masz:
\(\frac{A'G}{AG}= \frac{1}{2}\\czyli\\|A'G| = \frac{1}{3}|AA'|\\|B'G|= \frac{1}{3}|BB'|\\|C'G|= \frac{1}{3} |CC'|\)
Z tw.Talesa otrzymasz podobne zależności między odpowiednimi wysokościami trójkątów,których pola masz policzyć.

[mela1015]

jak obliczyć wysokości tych trójkątów ?

[Panko]

Rozcięcie \(\Delta\) jego przez środkowe daje podział \(\Delta\) na sześć \(\Delta\) o równych polach.
Do tego uzasadnienia wystarczy tylko fakcik ,że środkowa rozcina \(\Delta\) na dwa \(\Delta\) o równych polach .
Potem trzeba to zastosować do powstałych \(6\) -ciu \(\Delta\) --kątów i juz. To łątwe .
ODP :
a) \(\frac{1}{2} \cdot P\)
b)\(\frac{1}{3} \cdot P\)
c) \(0\)