Indukcja matematyczna

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
KryzysowaNarzeczona
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 30 paź 2016, 18:53
Podziękowania: 8 razy
Płeć:

Indukcja matematyczna

Post autor: KryzysowaNarzeczona » 30 paź 2016, 18:56

Pokaż przez indukcję matematyczną, że

\(2+2^2+...+2^n=2^{n+1}-2\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3305
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1125 razy
Płeć:

Post autor: panb » 31 paź 2016, 01:10

Widzę, że nie masz pojęcia o indukcji, bo ten przykład jest bardzo prosty.
Pewnie nie rozumiesz jak to jest z tym (n+1).

Dla n=1, twierdzenie brzmi \(2=2^{1+1}-2\) i jest prawdziwe.
Znaczenie n jest inne po lewej, a inne po prawej stronie.
Po lewej n oznacza ilość składników, a po prawej n, to liczba wstawiana do wzoru
  • n=1: po lewej - jeden składnik, po prawej za n wstawione 1
    n=2: po lewej 2 składniki (\(2+2^2\)), po prawej za n wstawiamy 2 (\(2^{2+1}-2\))
    itd.
Załóżmy, że \(2+2^2+\ldots+2^n=2^{n+1}-2\)
Jak wygląda twierdzenie dla (n+1)? Patrz wyżej: po lewej ...., a po prawej ...

\(2+2^2+\ldots+2^n+2^{n+1}= \left( 2+2^2+\ldots+2^n\right)+2^{n+1}=2^{2+1}-2+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-2=2^{n+2}-2\)
a tak własnie wygląda prawa strona gdy za n wstawimy n+1.

Wobec tego, jeśli założymy prawdziwość twierdzenia dla n, to wynika z tego prawdziwość twierdzenia dla (n+1).
Na mocy indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Analogia do kostek domina:
  • jeśli pierwsza kostka się przewróci, a przewrócenie którejkolwiek kostki powoduje przewrócenie się następnej, to przewrócą się wszystkie kostki domina.

KryzysowaNarzeczona
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 30 paź 2016, 18:53
Podziękowania: 8 razy
Płeć:

Post autor: KryzysowaNarzeczona » 01 lis 2016, 18:28

Dzięki wielkie!