środek okręgu wpisanego

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 470
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 224 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

środek okręgu wpisanego

Post autor: mela1015 » 22 paź 2016, 18:36

W ostrokątnym trójkącie ABC punkty A' B' i C' są spodkami jego wysokości. Wykazać że ortocentrum trójkąta ABC jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt A"B"C"
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: środek okręgu wpisanego

Post autor: Panko » 22 paź 2016, 19:33

Mozna rozumować np tak :
Należy pokazać ,że punkt \(H\) to punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów \(\Delta B'A'C'\).

Dla przykładu uzasadniam ,że \(H\) należy do dwusiecznej kata \(\angle A'B'C'\)
Należy pokazać ,że \(| \angle HB'C'|=| \angle HB'A'|\)

Zauważamy ,że na czworokatach : \(CB'HA'\) , \(AB'HC'\) mozna opisać okręgi bo sumy przeciwległych katów ( tu prostych) dają \(180^ \circ\).
Stąd z tw o katach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu jest dla kolejno tych czworokątów :
\(| \angle HB'A'|=| \angle HCA'|\)
\(| \angle HB'C'| =| \angle HAC'|\)

Teraz łatwo z \(\Delta AA'B\) i \(\Delta CC'B\) oba prostokątne widać , że \(| \angle HAC'|=| \angle HCA'| =90^ \circ -| \angle ABC|\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17037
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7191 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 22 paź 2016, 19:35

A ja mam z obrazkiem :)
ScreenHunter_1582.jpg
dowód przebiega tak:
Zielone kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Pomarańczowe kąty są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku.
Zielony równy pomarańczowemu, bo trójkąty ABB' i ACC' są prostokątne i mają wspólny kąt A ( to trzeci też musi być rowny).
No to AA' jest dwusieczną kąta w trójkącie spodkowym. Analogicznie pokazujemy , że BB' jest dwusieczną i teraz wystarczy wiedzieć, że środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.