Trójkąt ABC

[NieRozumiem85]

W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD, BE i CF. Obliczyć

\(\vec{BC} \circ \vec{AD} + \vec{CA} \circ \vec{BE} + \vec{AB} \circ \vec{CF}\)

[Panko]

trzeba przejść na wektory rozpięte na bokach \(\Delta\)
\(\vec{CF}=\frac{1}{2} \cdot ( \vec{CA}- \vec{BC} )\)
\(\vec{BE}=\frac{1}{2} \cdot ( \vec{BC}- \vec{AB} )\)
\(\vec{AD}=\frac{1}{2} \cdot ( \vec{AB}- \vec{CA} )\)
..........................................................................
teraz : \(\vec{AB} +\vec{BC} +\vec{CA}= \vec0\)
\(\vec{CA} =- \vec{AB} -\vec{BC}\)
.........................................................................
podstawić do trzech pierwszych :
\(\vec{CF}=- \frac{1}{2} \vec{AB}-\vec{BC}\)
\(\vec{BE} =\frac{1}{2}( \vec{BC} -\vec{AB} )\)
\(\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{BC}+ \vec{AB}\)
.......................................................................
podstaw do Twojego wyrażenia i przypuszczam , że się skróci , ale powinieneś zmęczyć to sam .

[panb]

Dedukuję, że \(\circ\) to iloczyn skalarny.
Wprowadźmy układ współrzędnych jak na rysunku poniżej.

rys.png (19.27 KiB) Przejrzano 1309 razy

Wtedy

• \(\vec{BC} \circ \vec{AD} = \left[x_C-x_B,y_C \right] \circ \left[ \frac{x_C+x_B}{2}, \frac{y_C}{2} \right]= \frac{1}{2} \left( x^2_C-x^2_B\right)+ \frac{1}{2}y^2_C\)

• \(\vec{CA} \circ \vec{BE}= \left[-x_C,-y_C \right] \circ \left[ \frac{x_C}{2}-x_B, \frac{y_C}{2} \right]=- \frac{1}{2}x^2_C +x_Bx_C- \frac{1}{2} y^2_C\)

• \(\vec{AB} \circ \vec{CF} = \left[ x_B,0\right] \circ \left[ \frac{x_B}{2}-x_C,-y_C \right]= \frac{1}{2}x^2_B-x_Bx_C\)

Dodaj to sobie, a wyjdzie .... zero!