Równoległobok i dwie cięciwy

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Równoległobok i dwie cięciwy

Post autor: NieRozumiem85 » 17 paź 2016, 13:40

Zadanie 1.
W równoległoboku ABCD punkty P i Q są środkami boków AB i AD. Wyznaczyć wektory AD i AB w zależności od wektorów CP=p oraz CQ=q.

Zadanie 2.
Dwie cięciwy AB i CD kręgu o ośrodku O przecinają się w punkcie P pod kątem prostym. Wykazać, że wektory:
PA + PB + PC + PD = 2PO

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: Równoległobok i dwie cięciwy

Post autor: Panko » 17 paź 2016, 17:50

1. \(\vec{AB} = \vec{DC} =\vec b\) , \(\vec{AD}= \vec{BC} =\vec b\) , \(\vec{CP}=\vec p\) , \(\vec{CQ}=\vec q\)
\(\begin{cases}\vec p +\frac{1}{2} \cdot \vec b= \vec a\\ \vec q +\frac{1}{2} \cdot \vec a= \vec b \end{cases}\)

stąd \(\begin{cases}\vec b =\frac{4}{3}(\vec q +\frac{1}{2} \cdot \vec p )\\ \vec a =\frac{4}{3}(\vec p +\frac{1}{2} \cdot \vec q ) \end{cases}\)

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 17 paź 2016, 18:21

Możemy policzyć i tak .
\(A=(x_1,y_1)\) , \(B=(x_1,y_3)\) , \(C=(x_2,y_2)\) , \(D=(x_3,y_2)\)
Okrąg ma srodek w punkcie \(O=(0,0)\)
Wtedy \(P=(x_1,y_2)\)
wtedy \(\vec {PA}= [ 0,y_1-y_2]\)
wtedy \(\vec {PB}= [ 0,y_3-y_2]\)
wtedy \(\vec {PC}= [ x_2-x_1,0]\)
wtedy \(\vec {PD}= [ x_3-x_1,0]\)
Wtedy : \(\vec {PA} +\vec {PB} + \vec {PC} +\vec {PD} =[x_2+x_3-2x_1,y_1+y_3-2y_2]\)
Wtedy : \(2 \cdot \vec{PO}=[-2x_1,-2y_2 , ]\)
.......................................................................
Ma być równość wektorów : \(\vec {PA} +\vec {PB} + \vec {PC} +\vec {PD} = 2 \cdot \vec{PO}\)
czyli : \([x_2+x_3-2x_1,y_1+y_3-2y_2] = [-2x_1,-2y_2 , ]\) a stąd ma być
\(x_2+x_3=0\) \(\\) i \(\\) \(y_1+y_3=0\)
......................................................................
A to wynika natychmiast z : \(x_2^2+y_2^2=R^2\) i \(x_3^2+y_2^2=R^2\) a stąd \(x_2^2-x_3^2=0\)
czyli \((x_2+x_3)(x_2-x_3)=0\) a stąd \(x_2+x_3=0\) .
Analogicznie dla drugiej cięciwy : \(\kre{AB}\)