Równanie 3. stopnia i trygonometria

[73xUVW]

Do rozwiązania jest następujące równanie 3. stopnia:
\(x^3+5x^2+4x=0\).

Równanie to można łatwo rozwiązać, doprowadzając je do postaci:
\(x(x+1)(x+4)=0\).
Otrzymuje się rozwiązania: \(x= 0\ \vee x= -1\ \vee x=-4\).

Wybrałem taki przykład celowo, aby uzyskać wszystkie pierwiastki rzeczywiste, a wręcz całkowite. Chcąc rozwiązać to samo równanie korzystając ze wzoru Cardano oraz pojęcia liczb zespolonych, napotkałem na pewną trudność, która uwidoczni się w toku zaprezentowanych poniżej obliczeń.

Ogólnie równanie 3. stopnia można zapisać w postaci \(ax^3+bx^2+cx+d=0\). W moim przypadku: \(a=1\); \(b=5\); \(c=4\); \(d=0\).

Równanie to sprowadziłem do postaci niezawierającej niewiadomej w 2. potędze, stosując podstawienie \(y=x- \frac{b}{3a}\).
W moim przypadku \(y=x- \frac{5}{3}\).
Po podstawieniu i przekształceniach, otrzymałem następujące równanie:
\(y^3- \frac{13}{3}y+ \frac{70}{27}=0\).

Równanie to ogólnie zapisuje się w postaci \(y^3+px+q=0\). W moim przypadku \(p=- \frac{13}{3}\); \(q= \frac{70}{27}\).

Następnie obliczyłem wyróżnik dla tego równania, korzystając ze wzoru \(\Delta =( \frac{p}{3})^3+( \frac{q}{2})^2\).
Otrzymałem \(\Delta<0\), czyli zgodnie z wcześniejszym rozwiązaniem równanie posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Zgodnie ze wzorem Cardano, można napisać, że jeden z pierwiastków równania \(y^3+px+q=0\) wynosi:
\(y= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{ \Delta }}+\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+ \sqrt{ \Delta }}\).

Następnie, m.in. korzystając z własności liczb zespolonych, ów pierwiastek \(y\) zapisałem w postaci trygonometrycznej:
\(y=2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos (\frac{\varphi}{3})\).

W moim przypadku będzie:
\(y=2 \sqrt{- \frac{- \frac{13}{3} }{3}} \cos (\frac{\varphi}{3})= \frac{2}{3} \sqrt{13} \cos ( \frac{\varphi}{3})\).

\(\cos \varphi\) można wyrazić wzorem \(\cos \varphi= \frac{- \frac{q}{2} }{ \sqrt{- \frac{p^3}{27} } }\)

W moim przypadku \(\cos \varphi= \frac{- \frac{ \frac{70}{27} }{2} }{ \sqrt{- \frac{(- \frac{13}{3} )^3}{27} } }\),
co najkrócej można zapisać, iż jest to \(\cos \varphi=- \frac{35}{13 \sqrt{13} }\).

W tym momencie pojawia się trudność, gdyż we wzorze na pierwiastek \(y\) występuje nie \(\cos \varphi\), lecz oczywiście \(\cos ( \frac{\varphi}{3})\). Z kolei otrzymana wartość \(\cos \varphi\) pokazuje, że kąta \(\varphi\), a tym bardziej kąta \(\frac{\varphi }{3}\) nie można od razu zgadnąć na podstawie wartości cosinusa, a więc należałoby go wówczas obliczyć. Wydaję mi się jednak, że tu pojawi się kolejny problem.

Mianowicie, z racji iż z góry wiadomo, że pierwiastki równania \(x^3+5x^2+4x=0\) są liczbami całkowitymi, a więc liczba \(y=x+ \frac{5}{3}\) też jest liczbą całkowitą, w związku z tym liczba:
\(\frac{2}{3} \sqrt{13} \cos ( \frac{\varphi}{3})+ \frac{5}{3}\) też musi być liczbą całkowitą.

Wydaje mi się więc, że pomimo otrzymania nieco "dziwnego" wyrażenia na \(\cos \varphi\), ostatecznie obliczenia powinny doprowadzić do uzyskania pierwiastka całkowitego (skoro równanie tylko takowe posiada), z tym, że na razie nie wiem jak to zrobić.
Mianowicie, chcąc otrzymać na końcu dokładną wartość (jeden z pierwiastków całkowitych równania), należałoby pewnie w trakcie obliczeń unikać wyznaczania przybliżonych wartości wyrażeń, a uzyskiwać dokładne (np. w postaci liczb niewymiernych i o ile to możliwe), mimo iż mogłyby się okazać skomplikowane. Skoro więc otrzymano dokładną wartość \(\cos \varphi\)(w postaci liczby niewymiernej), to również należałoby wyznaczyć dokładną wartość kąta \(\varphi\) oraz kąta \(\frac{\varphi }{3}\) i wówczas wyznaczyć dokładną wartość wyrażenia \(\cos ( \frac{\varphi}{3})\). Być może wówczas stałoby się widoczne, że liczba \(y=2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos (\frac{\varphi}{3})+ \frac{5}{3}\) jest liczbą całkowitą. W tej chwili jednak nie mam pomysłu, jak wyznaczyć dokładnie \(\cos ( \frac{\varphi}{3})\) mając przypadkowy \(\cos \varphi\).

Wydaje mi się też, iż dobrze by było, gdyby, mając wartość \(\cos \varphi\), móc od razu wyznaczyć wartość \(\cos ( \frac{\varphi}{3})\). Myślałem o tożsamości trygonometrycznej \(\cos (3 \alpha )=4 \cos ^3 \alpha -3 \cos \alpha\),
jednak prowadzi to znowu do równania trzeciego stopnia i także (przynajmniej w tym przypadku) z wyróżnikiem mniejszym od zera.

Ogólnie, w obliczaniu pierwiastka równania 3. stopnia problematyczne jest dla mnie wyznaczenie dokładnej wartości cosinusa jednej trzeciej pewnego kąta, gdy znana jest wartość cosinusa całego tego kąta:
\(\cos \varphi=v\)
\(\cos ( \frac{\varphi}{3})=?\)
W związku z tym będę wdzięczny za ewentualne wyprowadzenie z błędu lub jakąś podpowiedź jak z tego wybrnąć.