Zbadać, czy funkcja jest injekcją, surjekcją

[szukającodpowiedzi]

Dana jest funkcja \(f: AxA \to A , gdzie f(x,y)=5x+7y\) dla \(x,y \in A\). Zbadać, czy f jest injekcją i czy jest ona surjekcją, a następnie znaleźć \(f( \left\{1,2,3 \right\} x \left\{ 3,7\right\} )\) oraz \(f^{-1} ( \left\{ 0,7 \right\})\) , gdy:
a) \(A= \nn\)
b) \(A= \zz\)

[panb]

a) Funkcja nie jest iniekcją, bo \((0,5) \neq (7,0)\) natomiast \(f(0,5)=35=f(7,0)\).
Funkcja nie jest też suriekcją, bo \(8 \neq 5x+7y\) dla żadnych \(x,y \in \nn\)

b) W tym przypadku to też nie jest iniekcja (ten sam powód) ale jest suriekcją, bo dla każdej liczby \(c \in \zz\) istnieje taki \(y \in \zz\), że \(c-7y=5x\) dla pewnego \(x \in \zz\).
Wynika to z faktu, że przy mnożeniu przez 7 możemy uzyskać każdą z cyfr jako cyfrę jedności. Wystarczy więc dobrać takie y, aby iloczyn 7y miał ostatnią cyfrę taką jak liczba c. Po odjęciu uzyskamy zero jako cyfrę jedności i różnica będzie podzielna przez 5.
Przykład \(c=36 \So y=8 \,\,\, (7\cdot8=56)\) i \(36-56=-20=5\cdot(-4) \So x=-4\). Zatem \(36=f(-4,8)\)

[panb]

Myślę, że resztę zadania dasz rade zrobić. Co to za sztuka obliczyć wartości funkcji f dla:
(1,3), (1,7), (2,3), (2,7) ... itd.

[octahedron]

W b) suriekcję można pokazać też tak:
\(f(3,-2)=1\quad\Rightarrow\quad \forall_{k\in\mathbb{Z}}\,f(3k,-2k)=k\)