Rozwiązanie działania cosinus

[alena]

Niestety, ale na szczęście udaje mi się to wszystko zrozumieć, a to dzięki Wam

Jeszcze mam działanie matematyczne do rozwiązania. Potrzebne, bo liczę współczynniki DCT. Tym razem druga wartość tego współczynnika. Trudny przedmiot

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3\cdot \cos \frac{\pi}{4} +4\cdot \cos \frac{3 \pi }{4} +5\cdot \cos \frac{5 \pi }{4} +6\cdot \cos \frac{7 \pi}{4} \right)\)

Wynik to \(0\)

Żeby nie było, że jestem leniwa, próbowałam rozwiązać.

Moje rozwiązania:

Zamiast \(\cos \frac{\pi}{4}\) można wstawić\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), a \(5\) rozdzieliłam na \(4\) i \(1\).

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +4\cdot \cos \frac{3 \pi }{4} + 4\cdot \cos \frac{5 \pi }{4} + \cos \frac{5 \pi }{4}+6\cdot \cos \frac{7 \pi}{4} \right)\)

\(4\cdot \cos \frac{3 \pi }{4} + 4\cdot \cos \frac{5 \pi }{4}\)
\(4(2 \cos \pi \cos \frac{- \pi }{4})\)
\(4(2 \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{2} }{2})\)
\(-4\sqrt{2}\)

Czyli:
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2} -4\sqrt{2} + \cos \frac{5 \pi }{4}+6\cdot \cos \frac{7 \pi}{4} \right)\)

Dobry początek?

[Galen]

Po co się męczyć?
Zastosuj wzory redukcyjne:
\(cos(\pi-x)=-cosx\\cos(2\pi-x)=cosx\\cos(\pi+x)=-cosx\)
W Twoich przykładach \(x= \frac{\pi}{4}\)
\(cos( \frac{3}{4}\pi )=cos(\pi- \frac{\pi}{4})=-cos( \frac{\pi}{4})\\cos( \frac{5}{4}\pi )=cos(\pi+ \frac{\pi}{4})=-cos( \frac{\pi}{4})\\cos( \frac{7\pi}{4} )=cos(2\pi- \frac{\pi}{4})=cos( \frac{\pi}{4} )\)
Oznaczam \(cos( \frac{\pi}{4} )\;\;jako\;\;a\) i mam wyrażenie w nawiasie:
\(3a-4a-5a+6a=0\)
\(\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot 0=0\)

[alena]

Rzeczywiście tak jest prościej i najszybciej. Wszystko jasne Dziękuję.

Ostatnie działanie matematyczne do obliczenia i nie będę już Wam zawracała głowy.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3\cdot \cos \frac{3\pi}{8} +4\cdot \cos \frac{9\pi}{8} +5\cdot \cos \frac{15 \pi}{8} +6\cdot \cos \frac{21 \pi}{8} \right)=\)

Wynik to \(-0.15851266...\)

Próbowałam jakoś połączyć te cosinusy, żeby wyszedł zero, ale nic z tego. Nie mam pomysłu, może wskazówka?

[panb]

Najpierw zredukuj korzystając z wzorów redukcyjnych podanych przez Galen.

[alena]

Najpierw zredukuj korzystając z wzorów redukcyjnych podanych przez Galen.

\(cos( \frac{3}{8}\pi )=cos(\frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{8})=sin( \frac{\pi}{8})\\cos( \frac{9}{8}\pi )=cos(\pi+ \frac{\pi}{8})=-cos( \frac{\pi}{8})\\cos( \frac{15\pi}{8} )=cos(2\pi- \frac{\pi}{8})=cos( \frac{\pi}{8} )\)

Z tym nie mogę sobie poradzić:

\(cos( \frac{21}{8}\pi )=\)

[Galen]

\(cos( \frac{21\pi}{8})=cos(2\pi+ \frac{5\pi}{8})=cos( \frac{5\pi}{8} )=cos(\pi- \frac{3\pi}{8})=-cos( \frac{3\pi}{8})\)

[alena]

Dziękuję, to czyli tak będzie:

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3\cdot \sin \frac{\pi}{8}- 4\cdot \cos \frac{\pi}{8} +5\cdot \cos \frac{\pi}{8} +6\cdot \sin \frac{\pi}{8} \right)=\)

Podstawić za \(a\) chyba nie da rady, skoro pojawiły się sinusy.

EDIT:
Coś tu jest źle, bo wolfram podaje inny wynik.

[alena]

Znalazłam błąd. W działaniu obliczonym przez Galena powinien być minus, czyli \(-cos( \frac{3 \pi }{8})\)

Zatem
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3\cdot \sin \frac{\pi}{8}- 4\cdot \cos \frac{\pi}{8} +5\cdot \cos \frac{\pi}{8} -6\cdot \sin \frac{\pi}{8} \right)=\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{8} -3\cdot \sin \frac{\pi}{8} \right)=\)

\(\cos \frac{\pi}{8}\) to jak w pierwszym zadaniu, czyli \(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
więc
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} -3\cdot \sin \frac{\pi}{8} \right)=\)

Co dalej? Mhm...

[alena]

Dobra, dałam radę Zdolna ja!