Rozwiązanie działania cosinus

[alena]

Mam problem z rozwiązaniem tego poniższego działania:

\(\frac{\sqrt{2}}{2}(3\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 1}{8})+4\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 3}{8})+5\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 5}{8})+6\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 7}{8}))=\)


Wynik w wolframie to \(-2.2304\).

Czy trzeba skorzystać z tabeli? Potrzebne są jakieś wzory do obliczania cosinusa?

[alena]

Czy dałoby radę te działanie jakoś skrócić?

[panb]

No, jeżeli np. połączysz \(3\cos \frac{\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\) i skorzystasz ze wzoru na sumę cosinusów, to wyjdzie zero. Podobnie po połączeniu \(4\cos \frac{3\pi}{8}+4\cos \frac{5\pi}{8}\).
Czyli po tych czystkach zostanie \(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\) (i to jest ok, bo wolfram daje taki sam wynik).

[alena]

\(3\cos \frac{\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\)

A co z \(6\) się stało?

\(6\cos \frac{7\pi}{8}\)

[panb]

3 poszło do \(3\cos \frac{\pi}{8}\), a 3 zostało.

[alena]

Kurczę, główkuję i nie mogę pojąć, dlaczego tak jest.

Mógłbyś jakoś rozpisać i wyjaśnić? Byłabym wdzięczna.

[panb]

Sorki, musisz sama rozkminić.
6 rozdzielasz na dwie trójki, a 5 na cztery i jeden.

[alena]

Dobra, udało mi się to rozkminić Dzięki za pomoc.

[panb]

wiedziałem, że dasz radę.

[panb]

To jeszcze nie koniec. Trzeba policzyć \(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}\).

\(\cos \frac{5\pi}{8}+3\cos \frac{7\pi}{8}=\cos \frac{5\pi}{8} +\cos \frac{7\pi}{8} +2\cos \frac{7\pi}{8}=2\cos \frac{6\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}+2\cos(\pi- \frac{\pi}{8})=- \frac{2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}-2\cos \frac{\pi}{8}=\\= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cos \frac{\pi}{8}= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }= \frac{-2-2\sqrt2}{\sqrt2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}= \frac{(-1-\sqrt2) \sqrt{2+\sqrt2} }{\sqrt2}\)

Odpowiedź: \(\frac{\sqrt{2}}{2}(3\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 1}{8})+4\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 3}{8})+5\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 5}{8})+6\cdot \cos(\frac{\pi \cdot 7}{8}))= \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{(-1-\sqrt2) \sqrt{2+\sqrt2} }{\sqrt2}= \frac{-(\sqrt2+1)\sqrt{\sqrt2+2}}{2}\)

[alena]

Dziękuję.

Tego nie mogę rozkminąć

\(2 \cos(\frac{6\pi}{8}) = - \frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(2 \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -2 \cos \frac{\pi}{8}\)

[Galen]

\(cos( \frac{6\pi}{8} )=cos( \frac{3\pi}{4} )=cos(\pi- \frac{1}{4}\pi)=-cos( \frac{\pi}{4} )=- \frac{ \sqrt{2} }{2}\\to\\2cos( \frac{6\pi}{8})=2\cdot(- \frac{ \sqrt{2} }{2})=- \sqrt{2}\)
Wzór redukcyjny:
\(cos(180-\alpha)=-cos\alpha\)

[alena]

Dziękuję, teraz wszystko jasne.

Utknęłam znów przy tym:

\(\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} \right)= \sqrt{ \frac{1+ \frac{\sqrt2}{2} }{2} }\)

Nie mam pojęcia, jak to zostało obliczone. Domyślam, że \(cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}\), a co z \(\frac{1}{2}\)? Skąd ten duży pierwiastek?

Resztę działań już rozkminiam, tylko tego powyższego nie bardzo. A o to chodzi, żeby to zrozumieć, a nie przepisywać gotowca

[Galen]

Masz do policzenia \(cos( \frac{\pi}{8})\) znasz wartość cosinusa dla pi/4,czyli dla dwukrotności pi/8.
Wzór na cos2x
\(cos2x=2cos^2x-1\\2cos^2x=1+cos2x\\cos^2x= \frac{1}{2}(cos2x+1)\)
wstaw \(x= \frac{\pi}{8}\\2x= \frac{\pi}{4}\\cos^2( \frac{\pi}{8})= \frac{1}{2}(cos( \frac{\pi}{4}+1 )= \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2}+1 }{2}\)
\(cos( \frac{\pi}{8})= \sqrt{\frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}{2} }= \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{2} }{4} }= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}\)

[panb]

Super, że starasz się zrozumieć.
Sorry, że trafiło na trygonometrię - to niewdzięczny kawałek matematyki.