Macierze: zadania z sałatą

[adaki]

1 Wskaż przykłady macierzy 2 × 2 takich, że:
a) A^2 = I, ale A \neq I;
b) A^2 jest macierzą zerową, ale A różną od zera.

2 Pokaż, że dla macierzy A, B zachodzi wzór (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 wtedy i tylko
wtedy, gdy AB = BA.
Przy jakich założeniach (A+B)(A−B) = A^2−B^2 ?
Czy prawdą jest, że (A + I)(A − I) = A^2 − I? Czy A^3 − I = (A − I)(A^2 + A + I)?

3 Uzasadnij, że dla dowolnych macierzy kwadratowych tego samego stopnia AB+BA jest
macierzą symetryczną. Co można powiedzieć o macierzy AB − BA?

4 Wykaż, że każda macierz kwadratowa jest sumą macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

[panb]

Tych zadań jest ZA DUŻO! Mógłbyś sam coś zrobić. A gdzie sałata?

1a) \(\begin{bmatrix} 1&0\\2&-1\end{bmatrix}\), 1b) \(\begin{bmatrix}-2&1\\-4&2 \end{bmatrix}\)

Sprawdzenie pozostawiam tobie.