Macierze 2

[kalin2142]

zad 1 Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A \(\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]\)

zad 2 Oblicz wyznacznik \(\left[\begin{array}{ccc}1&1&1&0\\-1&-1&2&3\\1&-2&-1&-2\\3&-1&2&-1\end{array}\right]\)

[kalin2142]

Mógłby mi ktoś pomóc?

[Binio1]

zad 1 Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A \(\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]\)

Zestawisza swoja macierz z macierza z jedynkami po przekatnej

\(\left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
Wiersz pierwszy mnozymy razy \((-1)\)
Wiersz drugi dzielimy przez \((2)\)
\(\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&0\\1&0&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
Do wiersza pierwszego dodajemy wiersz trzeci
\(\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&1\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
Wiersz pierwszy dzielimy przez \((2)\)
\(\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
Od wiersza trzeciego odejmujemy wiersz pierwszy
\(\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{array}\right]\)

No i po prawej otrzymalismy macierz odwrotna

[domino21]

wzór na macierz odwrotną:
\(A^{-1}= \frac{1}{det A} \cdot \left(A^D \right)^T\)

liczymy wyznacznik:
\(det A=-2-2=-4\)

macierz dopełnień:

\(A^D=\left[\begin{array}{ccc} \left|\begin{matrix} 2&0 \\ 0&1 \end{matrix}\right| &-\left|\begin{matrix} 0&0 \\ 1&1 \end{matrix} \right| & \left|\begin{matrix} 0&2 \\ 1&0 \end{matrix}\right| \\
-\left|\begin{matrix} 0&1 \\ 0&1 \end{matrix}\right| & \left|\begin{matrix} -1&1 \\ 1&1 \end{matrix}\right| &-\left|\begin{matrix} -1&0 \\ 1&0 \end{matrix}\right|\\
\left| \begin{matrix} 0&1 \\ 2&0 \end{matrix} \right| & -\left|\begin{matrix} -1&1 \\ 0&0 \end{matrix}\right| &\left|\begin{matrix} -1&0 \\ 0&2 \end{matrix} \right| \end{array}\right]\)

no i wracamy do macierzy odwrotnej:
\(A^{-1}=\frac{1}{-4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 2&0&-2 \\0&-2&0 \\-2&0&-2 \end{array}\right]^T =-\frac{1}{4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 2&0&-2 \\0&-2&0 \\-2&0&-2 \end{array}\right]\)

zatem ostatecznie:
\(A^{-1} =-\frac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&-1 \\0&-1&0 \\-1&0&-1 \end{array}\right]\)

[Binio1]

zad 2 Oblicz wyznacznik \(\left[\begin{array}{ccc}1&1&1&0\\-1&-1&2&3\\1&-2&-1&-2\\3&-1&2&-1\end{array}\right]\)

Korzystasz z wzoru \(a_{ij} \cdot(-1)^{i+j} \cdot A_{ij}\)
\(A_{ij}\) - Jest to macierz ktora powstala poprzez wykreslenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

\(\det A = 1 \cdot \left[\begin{array}{ccc} -1&2&3 \\ -2&-1&-2 \\ -1&2&-1\end{array}\right] - 1 \cdot \left[ \begin{array}{ccc} -1&2&3\\1&-1&-2\\3&2&-1\end{array}\right] + 1 \cdot \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&3\\1&-2&-2\\3&-1&-1\end{array}\right] - 0\cdot\left[\begin{array}{ccc}-1&-1&2\\1&-2&-1\\3&-1&2\end{array}\right]\)

Po takim rospisaniu mamy macierze \(3x3\) najlatwiej dalej skozystac ze wzoru Sarrusa
http://www.naukowiec.org/wzory/matematy ... -_618.html

Pierwsza macierz:
\((-1 +4 -12 -3 -4 -4) = - 20\)
Druga macierz: \(0\)
Trzecia macierz: \(20\)
Czwarta macierz zostaje pomnozona przez \(0\) czyli i tak sie kasuje

\(1\cdot(-20)-1\cdot(0)+1\cdot(20) = -20 + 20 = 0\)