wnętrza zbioru

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jadzia_1986
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 17 mar 2009, 15:23

wnętrza zbioru

Post autor: jadzia_1986 » 26 paź 2009, 18:39

udowodnij ze
int(\(A_{1} \cap A_{2}\))=int\(A_{1} \cap\)int\(A_{2}\)

greg
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 11 gru 2009, 17:35
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: greg » 17 gru 2009, 17:47

Pokażemy, że \(int(A_1\cap A_2)\subset int(A_1)\cap int(A_2)\). Niech \(x\in int(A_1\cap A_2)\)
Wówczas istnieje zbiór otwarty U taki, że \(x\in U\) i \(U\subset A_1\cap A_2\). Stąd \(U\subse A_1\) i \(U\subset A_2\), czyli \(x\in int(A_1)\cap int(A_2)\).
Niech \(x\in int(A_1)\cap int(A_2)\). Wówczas instnieje U otwarty taki, że \(x\in U\), \(U\subset A_1\) i \(U\subset A_2\). Stąd \(U\subset A_1\cap A_2\), czyli \(x\in int(A_1\cap A_2)\). Co oznacza, że \(int(A_1\cap A_2)\supset int(A_1)\cap int(A_2)\)