Równanie logarytmiczne

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
borekl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 08 wrz 2012, 11:02
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Równanie logarytmiczne

Post autor: borekl »

\(x^{logx} = 100x\)
Arni123
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 135
Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Re: Równanie logarytmiczne

Post autor: Arni123 »

\(x^{logx}=100x\)
Po pierwsze zauważmy, że \(x>0\), co wynika z definicji logarytmu.
Z definicji logarytmu możemy także powyższą równość zapisać jako:
\(log_{x}100x=log{x}\).
Następnie korzystając z znanej własności logarytmów (\(log_{a}{b}=\frac{log_{c}{b}}{log_{c}{a}}\)) mamy:
\(\frac{log{100x}}{log{x}}=log{x} \;\;\; / \cdot log{x}\) (o ile \(x\neq 1\))
\(log{100x}=(log{x})^2\), następnie korzystając ze wzoru \(log_{a}{b\cdot c}=log_{a}{b}+log_{a}{c}\) mamy:
\(log{100}+log{x}=(log{x})^2\)
\(2+log{x}=(log{x})^2\)
Niech teraz \(t=log{x}\), mamy wtedy:
\(2+t=t^2\), a to jest zwykłe równanie kwadratowe , którego rozwiązaniem jest \(t=-1 lub t=2\).
Mamy stąd:
\(log{x}=-1\), czyli \(x=\frac{1}{10}\) lub
\(log{x}=2\), czyli \(x=100\).
Wobec tego rozwiązaniem tego równania jest \(x=\frac{1}{10}\) lub \(x=100\).
ODPOWIEDZ