Suma - obliczanie

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
saszaw90
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 163
Rejestracja: 16 kwie 2009, 20:56
Podziękowania: 120 razy

Suma - obliczanie

Post autor: saszaw90 »

Witam,

umiem to rozwiązać, ale to jest bardzo długie działanie do obliczania, czy nie ma innego sposobu, żeby to szybko obliczyć?

Moje rozwiązanie jest takie:

\(\sum_{k=1}^{4}\sum_{i=0}^{6}(3i-2k)= (3 \cdot 0-2 \cdot 1)+(3 \cdot 0-2 \cdot 2)+(3 \cdot 0-2 \cdot 3)+(3 \cdot 0-2 \cdot 4)+(3 \cdot 1-2 \cdot 1)+(3 \cdot 1-2 \cdot 2)+(3 \cdot 1-2 \cdot 3)+(3 \cdot 1-2 \cdot 4)\)...\(+(3 \cdot 5-2 \cdot 4)=112\)

To jest bardzo męczące. Zastanawiam się, czy można też rozwiązać to w inny sposób?
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

\(\sum_{k=1}^{4}\sum_{i=0}^{6}(3i-2k)=\sum_{k=1}^{4}\(\frac{3\cdot 0+3\cdot 6}{2}\cdot 7-7\cdot 2k\)=\sum_{k=1}^{4}(63-14k)=
=4\cdot 63-14\cdot\frac{1+4}{2}\cdot 4=252-140=112\)
saszaw90
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 163
Rejestracja: 16 kwie 2009, 20:56
Podziękowania: 120 razy

Re:

Post autor: saszaw90 »

Dziękuje za pomoc. Jeszcze nie wszystko ogarniam.

Skąd to się wzięło - \(\frac{3\cdot 0+3\cdot 6}{2}\cdot 7\)? Na podstawie jakiegoś wzoru?
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

To wzór na sumę ciagu arytmetycznego.
saszaw90
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 163
Rejestracja: 16 kwie 2009, 20:56
Podziękowania: 120 razy

Re:

Post autor: saszaw90 »

Mam pytanie, nie mogę tego rozwikłać. Skąd się wzięło to \(11\) w liczniku ułamka? Długo się zastanawiam, zastanawiam i nic nie przychodzi mi do głowy.

\(\sum_{k=1}^{5}6k^2= 6 \cdot \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 330\)
Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8799
Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4449 razy
Płeć:

Re: Suma - obliczanie

Post autor: patryk00714 »

\(\sum_{k=1}^{5}6k^2=6 \sum_{k=1}^{5}k^2=6(1+4+9+16+25)=6 \cdot 5 \cdot 11 =330\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)
saszaw90
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 163
Rejestracja: 16 kwie 2009, 20:56
Podziękowania: 120 razy

Re: Suma - obliczanie

Post autor: saszaw90 »

A no tak, dziękuję :)

Jeszcze mam pytanie, chodzi mi o:

\(\sum_{i=5}^{n}n=(n-4)n\)

Na podstawie jakiego wzoru?

Skąd się wzięła liczba \(-4\)?
Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8799
Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4449 razy
Płeć:

Post autor: patryk00714 »

ten wzór nie jest prawdziwy.

\(\sum_{k=5}^{n}k=5+6+...+n= \frac{5+n}{2}(n-4)= \frac{n^2+n-20}{2}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)
saszaw90
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 163
Rejestracja: 16 kwie 2009, 20:56
Podziękowania: 120 razy

Re:

Post autor: saszaw90 »

Rozumiem, a taki przykład miałem:

\(\sum_{i=5}^{n}(n-i)= \sum_{i=5}^{n}n-\sum_{i=5}^{n}i=...\)

i dlatego pytałem o: \(\sum_{i=5}^{n}n\) to nie da się z tym zrobić?
josselyn
Expert
Expert
Posty: 4026
Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1914 razy
Płeć:

Re: Suma - obliczanie

Post autor: josselyn »

\(\sum_{i=5}^{n}n\)
musisz zsumować liczbę n, \(n-5+1\) razy
\(\sum_{i=5}^{n}n=n(n-4)\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”

George Polya
ODPOWIEDZ