Rozwiąż równanie:
\(xy'=yln \frac{y}{x}\)
Proszę o pomoc
Równanie rożniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Anitka1912
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 22 wrz 2012, 09:54
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Równanie rożniczkowe
\(xy'=yln \frac{y}{x}\)
\(y'=\frac{y}{x}ln \frac{y}{x}\)
\(\left(t=\frac{y}{x}\\y=tx\\ y'=t+t'x \right)\)
\(t+t'x =tlnt\)
\(t'x =t(lnt-1)\)
\(\frac{dt}{dx} x =t(lnt-1)\)
\(\int_{}^{} \frac{dt}{t(lnt-1)} = \int_{}^{} \frac{dx}{x}\)
\(\int \frac{dt}{t(lnt-1)}=\int \frac{ \frac{1}{t} dt}{(lnt-1)}=^* ln|lnt-1|+C\)
\(\int_{}^{} \frac{dx}{x}=^*lnx+D\)
\(*-\) bo licznik jest pochodną mianownika
No to
\(lnx+D= ln|lnt-1|+C\)
\(lnx= ln|lnt-1|+E\)
\(x=Fln|t-1|\\x=Fln| \frac{y}{x} -1|\)
\(y'=\frac{y}{x}ln \frac{y}{x}\)
\(\left(t=\frac{y}{x}\\y=tx\\ y'=t+t'x \right)\)
\(t+t'x =tlnt\)
\(t'x =t(lnt-1)\)
\(\frac{dt}{dx} x =t(lnt-1)\)
\(\int_{}^{} \frac{dt}{t(lnt-1)} = \int_{}^{} \frac{dx}{x}\)
\(\int \frac{dt}{t(lnt-1)}=\int \frac{ \frac{1}{t} dt}{(lnt-1)}=^* ln|lnt-1|+C\)
\(\int_{}^{} \frac{dx}{x}=^*lnx+D\)
\(*-\) bo licznik jest pochodną mianownika
No to
\(lnx+D= ln|lnt-1|+C\)
\(lnx= ln|lnt-1|+E\)
\(x=Fln|t-1|\\x=Fln| \frac{y}{x} -1|\)