Witam! Zdawałam test na studia matematyczne, znam też już odpowiedzi typu TAK/ NIE, lecz wciąż nie mogę zrozumieć kilku zadań. Prosiłabym o jakąś wskazówkę do ich rozwiązania.
1. Czy w podanym zbiorze trójkątów istnieją trójkąty o dowolnie dużym polu
a) zbiór trójkątów opisanych na okręgu o promieniu 1.
b) zbiór trójkątów o obwodzie 1.
[ co rozumieć pod nazwą dowolnie duże pole? odp na a-T, b- N, dlaczego?]
2. Czy w podanym zbiorze czworokątów istnieją czworokąty o dowolnie małym polu:
a)zbiór prostokątów o przekątnych długości 1, T
b)zbiór czworokątów opisanych na okręgu o promieniu 1 N
c) zbiór rombów o bokach długości 1 T
d)zbiór czworokątów wypukłych o obwodzie 1? T
3. Czy liczna \(n^n\) jest podzielna przez \(2^{100}\), jeżeli
a) n=123 N
b) n=82 N
c) n=32 T
d) n=52 T
[ ad.a) coś podobno dlatego, ze podstawa nie jest parzysta, ale nie rozumiem, a w ad.b) że jest podzielna prze 2, ale nie przez 4...???]
4. Czy równość \({n \choose k}\) = \({n \choose k+7}\) jest prawdziwa dla:
a) n=21 k=8 N
b) n=49 k=21 T
c) n=38 k=15 N
d) n=27 k=10 T
[miałam to wyliczyć bez kalkulatora, jak to zrobić? obiło mi się, ze n=2k+7, ale skąd to się wzięło?]
5. Czy istnieje taka liczba rzeczywista x>2012, że \(2^x\) > \(x^{2012}\)
[odpowiedz brzmi tak, ale jak odpowiedzieć na to pytanie bez jakichkolwiek obliczeń?]
6. W turnieju wzięło udział 15 szachistów. Żadnych dwóch nie rozegrało ze sobą więcej niż jednej partii szachów. Czy jest możliwe, aby w czasie turnieju każdy z zawodników rozegrał:
a) dokładnie 5 partii N
b) dokładnie 9 partii N
c) dokładnie 7 partii N
d) dokładnie 6 partii? T
Z góry dziękuję za poświęcony czas i pozdrawiam
zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- KamilWit
- Moderator
- Posty: 1484
- Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
- Podziękowania: 370 razy
- Otrzymane podziękowania: 266 razy
- Płeć:
2 a)
z tego co mi wiadomo, przekątna jest dłuższa od boku, w takim razie
podaj mi przykład gdzie boki mają po \(0,1\)
a jednocześnie przekątna ma długość 1 cm.
czyli raczej tutaj bd Nie
2 b')
po innemu okrąg wpisany w czworkąt
zachodzi
\(a+c = b + d\)
co więcej każdy odcinek musi być większy od promienia.
co od razu daje fałsz
c) no skoro mamy narzucony bok, a bok jest scisle zalezny do pola, to nie mozemy dowolnie pola wyznaczyc...
fałsz
d) podobnie fałsz
z tego co mi wiadomo, przekątna jest dłuższa od boku, w takim razie
podaj mi przykład gdzie boki mają po \(0,1\)
a jednocześnie przekątna ma długość 1 cm.
czyli raczej tutaj bd Nie
2 b')
po innemu okrąg wpisany w czworkąt
zachodzi
\(a+c = b + d\)
co więcej każdy odcinek musi być większy od promienia.
co od razu daje fałsz
c) no skoro mamy narzucony bok, a bok jest scisle zalezny do pola, to nie mozemy dowolnie pola wyznaczyc...
fałsz
d) podobnie fałsz
- KamilWit
- Moderator
- Posty: 1484
- Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
- Podziękowania: 370 razy
- Otrzymane podziękowania: 266 razy
- Płeć:
4. oprzeć się na pewnej równości
a ) nie
bo \(k = 8
\\ n = 21\)
a z kolei
\(k_2 = 8 + 7 = 15 \\
ale \\
n_2 = 21 - 15 = 6\)
a musialoby byc\(n_2 = 8\)
b ) tak
bo \(k = 21
\\ n = 49\)
a z kolei
\(k_2 = 21 + 7 = 28 \\
ale \\
n_2 = 49 - 28 = 21\)
a musialoby byc\(n_2 = 21\)
c ) nie
bo \(k = 15
\\ n = 38\)
a z kolei
\(k_2 = 15 + 7 = 22 \\
ale \\
n_2 = 38 - 22 = 16\)
a musialoby byc\(n_2 = 15\)
d ) prawda
bo \(k = 10
\\ n = 27\)
a z kolei
\(k_2 = 10 + 7 = 17 \\
ale \\
n_2 = 27 - 17 = 10\)
a musialoby byc\(n_2 = 10\)
a ) nie
bo \(k = 8
\\ n = 21\)
a z kolei
\(k_2 = 8 + 7 = 15 \\
ale \\
n_2 = 21 - 15 = 6\)
a musialoby byc\(n_2 = 8\)
b ) tak
bo \(k = 21
\\ n = 49\)
a z kolei
\(k_2 = 21 + 7 = 28 \\
ale \\
n_2 = 49 - 28 = 21\)
a musialoby byc\(n_2 = 21\)
c ) nie
bo \(k = 15
\\ n = 38\)
a z kolei
\(k_2 = 15 + 7 = 22 \\
ale \\
n_2 = 38 - 22 = 16\)
a musialoby byc\(n_2 = 15\)
d ) prawda
bo \(k = 10
\\ n = 27\)
a z kolei
\(k_2 = 10 + 7 = 17 \\
ale \\
n_2 = 27 - 17 = 10\)
a musialoby byc\(n_2 = 10\)
- kamil13151
- Fachowiec
- Posty: 1528
- Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
- Płeć:
Re: zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.
5) Ogólnie wiadomo, że funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż wielomian, można jednak wskazać ładniejszy przykład, a mianowicie \(x=2^{15}\).
- kamil13151
- Fachowiec
- Posty: 1528
- Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
- Płeć:
Re: zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.
Nigdy nie zajdzie \(k=k+7\), także mamy do dyspozycji drugą opcję.4. Czy równość \({n \choose k}= {n \choose k+7}\) jest prawdziwa dla:
a) n=21 k=8 N
b) n=49 k=21 T
c) n=38 k=15 N
d) n=27 k=10 T
[miałam to wyliczyć bez kalkulatora, jak to zrobić? obiło mi się, ze n=2k+7, ale skąd to się wzięło?]
Znana jest równość: \({n \choose k}= {n \choose n-k}\)
Zatem musi zachodzić: \({n \choose n-k}= {n \choose k+7}\)
Stąd \(n-k=k+7\) czyli rzeczywiście: \(n=2k+7\).