zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jo-anna
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 05 paź 2012, 22:23
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.

Post autor: Jo-anna »

Witam! Zdawałam test na studia matematyczne, znam też już odpowiedzi typu TAK/ NIE, lecz wciąż nie mogę zrozumieć kilku zadań. Prosiłabym o jakąś wskazówkę do ich rozwiązania.
1. Czy w podanym zbiorze trójkątów istnieją trójkąty o dowolnie dużym polu
a) zbiór trójkątów opisanych na okręgu o promieniu 1.
b) zbiór trójkątów o obwodzie 1.
[ co rozumieć pod nazwą dowolnie duże pole? odp na a-T, b- N, dlaczego?]

2. Czy w podanym zbiorze czworokątów istnieją czworokąty o dowolnie małym polu:
a)zbiór prostokątów o przekątnych długości 1, T
b)zbiór czworokątów opisanych na okręgu o promieniu 1 N
c) zbiór rombów o bokach długości 1 T
d)zbiór czworokątów wypukłych o obwodzie 1? T

3. Czy liczna \(n^n\) jest podzielna przez \(2^{100}\), jeżeli
a) n=123 N
b) n=82 N
c) n=32 T
d) n=52 T
[ ad.a) coś podobno dlatego, ze podstawa nie jest parzysta, ale nie rozumiem, a w ad.b) że jest podzielna prze 2, ale nie przez 4...???]

4. Czy równość \({n \choose k}\) = \({n \choose k+7}\) jest prawdziwa dla:
a) n=21 k=8 N
b) n=49 k=21 T
c) n=38 k=15 N
d) n=27 k=10 T
[miałam to wyliczyć bez kalkulatora, jak to zrobić? obiło mi się, ze n=2k+7, ale skąd to się wzięło?]

5. Czy istnieje taka liczba rzeczywista x>2012, że \(2^x\) > \(x^{2012}\)
[odpowiedz brzmi tak, ale jak odpowiedzieć na to pytanie bez jakichkolwiek obliczeń?]

6. W turnieju wzięło udział 15 szachistów. Żadnych dwóch nie rozegrało ze sobą więcej niż jednej partii szachów. Czy jest możliwe, aby w czasie turnieju każdy z zawodników rozegrał:
a) dokładnie 5 partii N
b) dokładnie 9 partii N
c) dokładnie 7 partii N
d) dokładnie 6 partii? T

Z góry dziękuję za poświęcony czas i pozdrawiam ;)
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

Pola, znaczy to co trójkąt ma w środku xd.
najłatwiej to zobaczyć na przykładzie okręgi o promieniu 1 , i trójkacie prostokatnym, sobie w paincie mozesz przeciagnac jedna kreske do gory, a 3 do niej dojechac pod innym kątem.

b) nie, istnieje scisla zaleznosc miedzy obwodem a polem trójkąta.
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

2 a)
z tego co mi wiadomo, przekątna jest dłuższa od boku, w takim razie
podaj mi przykład gdzie boki mają po \(0,1\)
a jednocześnie przekątna ma długość 1 cm.
czyli raczej tutaj bd Nie

2 b')
po innemu okrąg wpisany w czworkąt
zachodzi
\(a+c = b + d\)
co więcej każdy odcinek musi być większy od promienia.
co od razu daje fałsz

c) no skoro mamy narzucony bok, a bok jest scisle zalezny do pola, to nie mozemy dowolnie pola wyznaczyc...
fałsz
d) podobnie fałsz
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

3. warunkiem koniecznym jest podzielność przez \(2\)

następnie dlaczego nie b ?
liczba się dzieli przez 2
ale to jakby
\(2^{82}\)
a musi być co najmniej \(2^{100}\)
c)
\(32 = 2^5\)
zatem
\(2^{5^\ \cdot \ 32}= 2^{160}\)
d)
\(52 = 4 \ \cdot \ 13\)
\(2^{2^\ \cdot \ 52} = 2^{104}\)
ponad 100.
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

4. oprzeć się na pewnej równości
a ) nie
bo \(k = 8

\\ n = 21\)

a z kolei
\(k_2 = 8 + 7 = 15 \\
ale \\
n_2 = 21 - 15 = 6\)

a musialoby byc\(n_2 = 8\)
b ) tak
bo \(k = 21

\\ n = 49\)

a z kolei
\(k_2 = 21 + 7 = 28 \\
ale \\
n_2 = 49 - 28 = 21\)

a musialoby byc\(n_2 = 21\)





c ) nie
bo \(k = 15

\\ n = 38\)

a z kolei
\(k_2 = 15 + 7 = 22 \\
ale \\
n_2 = 38 - 22 = 16\)

a musialoby byc\(n_2 = 15\)









d ) prawda
bo \(k = 10

\\ n = 27\)

a z kolei
\(k_2 = 10 + 7 = 17 \\
ale \\
n_2 = 27 - 17 = 10\)

a musialoby byc\(n_2 = 10\)
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

5. dla przykładu
\(x = 50.000\)

\(2^{50 000} = 2^{3125 \ \cdot \ 16} = 65536^{3125}\)

\(65536^{3125} >50 000^{2012}\)
Awatar użytkownika
kamil13151
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1528
Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:

Re: zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.

Post autor: kamil13151 »

5) Ogólnie wiadomo, że funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż wielomian, można jednak wskazać ładniejszy przykład, a mianowicie \(x=2^{15}\).
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Post autor: KamilWit »

6.
z 15 osób wybieramy parę (2 ) bez powtórzeń
15 po 2 =
\(7 \ \cdot \ 15\)
zatem odpowiedź c)
Awatar użytkownika
kamil13151
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1528
Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:

Re: zadnia z testu kwlifikacyjnegon na studia mat.

Post autor: kamil13151 »

4. Czy równość \({n \choose k}= {n \choose k+7}\) jest prawdziwa dla:
a) n=21 k=8 N
b) n=49 k=21 T
c) n=38 k=15 N
d) n=27 k=10 T
[miałam to wyliczyć bez kalkulatora, jak to zrobić? obiło mi się, ze n=2k+7, ale skąd to się wzięło?]
Nigdy nie zajdzie \(k=k+7\), także mamy do dyspozycji drugą opcję.

Znana jest równość: \({n \choose k}= {n \choose n-k}\)

Zatem musi zachodzić: \({n \choose n-k}= {n \choose k+7}\)

Stąd \(n-k=k+7\) czyli rzeczywiście: \(n=2k+7\).
ODPOWIEDZ