Równania różniczkowe

[KUSI]

1.Wykaż,że funkcja \(z=xyln(xy)\) spełnia równanie różniczkowe \(z_{x}_{x}*z_{y}_{y}=1\)


2.Rozwiąż równanie różniczkowe \(y''+2y'=4x\) z warunkiem \(y(0)=9\) i \(y'(0)=1\)

[patryk00714]

1

\(z=xyln(xy)\)

\(z_x=y(xln(xy))'=y(ln(xy)+x \frac{1}{xy}y)=y(ln(xy)+1)\)

\(z_{xx}=y(ln(xy))'+y'=y \frac{1}{xy}y= \frac{y}{x}\)

\(z_{y}=x(yln(xy))'=x(ln(xy)+y \frac{1}{xy}x)=x(ln(xy)+1)\)

\(z_{yy}=x(ln(xy))'+x'=x \frac{1}{xy}x= \frac{x}{y}\)

istotnie: \(\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1\)

[patryk00714]

2) \(y''+2y'=4x\)

podstawiamy: \(p=y'\)

\(p'+2p=4x\)

rozwiazujemy jednorodne:

\(\frac{dp}{dx}=-2p\)

\(\frac{dp}{p}=-2dx \;\;\;\ \int_{}^{}\)

\(ln|p|=-2x+C\)

\(p=Ce^{-2x}\)

\(p=\frac{C(x)}{e^{2x}}\)

\(p'= \frac{C'(x)e^{2x}-2C(x)e^{2x}}{e^{4x}}\)

\(\frac{C'(x)e^{2x}-2C(x)e^{2x}}{e^{4x}}+ \frac{2C(x)}{e^{2x}}=4x\)

\(\frac{C'(x)}{e^{2x}}=4x\)

\(C'(x)=4xe^{2x}\)

\(C(x)=4 \int_{}^{} xe^{2x}dx=e^{2x}(2x-1)+C\)


zatem \(p= \frac{e^{2x}(2x-1)+C}{e^{2x}}=y'\)

\(y= \int_{}^{} \frac{e^{2x}(2x-1)+C}{e^{2x}}dx= \int_{}^{} (2x-1)dx+C \int_{}^{} e^{-2x}dx=x^2-x+Ce^{-2x}+C_1\)

[janekk]

2) \(y'' +2y' =4x\)
równ. charakterystyczne(równ. jednorodnego):
\(r^2 +2r=r(r+2)=0\)
czyli: \(r_1 =0\)
\(r_2 =-2\)
czyli: \(y_{o}=C_1 e^{r_1 x} +C_2 e^{r_2 x} =C_1 +C_2 e^{-2x}\)
metodą przewidywań znajdziemy rozwiązanie szczególne równ. niejednorodnego:
\(y_{sz} =ax^2 +bx+c\)
wstawiając do równania otrzymujemy:
\(2a+2(2ax+b)=4x\)
czyli: \(a=1\)
\(b=-1\)
\(c=0\) -dowolne więc może być równe zero

zatem: \(y=y_{o} +y_{sz} =C_1 +C_2 e^{-2x} +x^2 -x\)

[patryk00714]

zapomniałem o warunkach poczatkowych. Policz pochodną rozwiązania i podstaw podane warunki. Z układu wyliczysz wartości stałych \(C\) i \(C_1\)