Zadania : geometria,całki,różniczki

[KUSI]

Mam problem z tymi zadaniami :

1.Znajdź punkt wspólny prostej l:

\(\begin{cases}y+z+1=0\\ x-2z-1=0 \end{cases}\) i płaszczyzny \(\pi :2x+3y-z=0\)


2.Wyznacz całki

a)\(\int_{}^{} \frac{ln^2*x}{x}dx\) b) \(\int_{}^{} (1-x^2)*sin2xdx\)


3.Obszar \(D\) wyznaczony przez krzywe: \(y=2 \sqrt{x}\) i \(y=2x^2\) przecięto prostą \(y=2x\) na dwa obszary \(D_{1} (gorny),D_{2} (dolny).\)
Która z całek \(\int_{}^{} \int_{D1}^{}yx^2dxdy, \int_{}^{} \int_{D2}^{}yx^2dxdy\) ma większą wartość ?


4.Rozwiąż równanie różniczkowe \(y''-2y'=e^(2x)\) z warunkami \(y(0)=0, y'(o)=0,5\)


5.Naszkicus obszar ograniczony krzywymi \(y=1-x^2+4x\) i \(y+4x=x^2+7\) i oblicz pole tego obszaru

[patryk00714]

4. \(y''-2y'=e^{2x}\)

podstawiamy \(p=y'\)

i mamy: \(p'-2p=e^{2x}\)

rozwiazujemy jednorodne:

\(\frac{dp}{dx}=2p\)

\(\frac{dp}{p}=2dx \;\;\;\; \int_{}^{}\)

\(ln|p|=2x+C\)

\(p=Ce^{2x}\)

uzmienniamy stałą:

\(p=C(x)e^{2x}\)

liczymy pochodna i wstawiamy do równania:

\(p'=C'(x)e^{2x}+2C(x)e^{2x}\)

\(C'(x)e^{2x}+2C(x)e^{2x}-2C(x)e^{2x}=e^{2x}\)

\(C'(x)=1\)

\(C(x)=x+C\)

zatem

\(p=(x+C)e^{2x}\)

ale \(p=y'\)

zatem: \(y'=xe^{2x}+Ce^{2x}\)

\(y= \int_{}^{}xe^{2x}dx +C\int_{}^{} e^{2x}dx= \frac{1}{4}e^{2x}(2x-1)+Ce^{2x}+C_1\)

[patryk00714]

5)

\(P= \int_{1}^{3} [(1-x^2+4x)-(x^2-4x+7)]dx= \int_{1}^{3}(-2x^2+8x-6)dx=[- \frac{2}{3}x^3+4x^2-6x]^3_1=\)

\(=(-18+36-18)-(- \frac{2}{3} +4-6)= \frac{8}{3}\)

[patryk00714]

3)

\(D_1: \begin{cases}0 \le x \le 1 \\ 2x \le y \le 2\sqrt{x} \end{cases}\)

\(D_2: \begin{cases}0 \le x \le 1 \\ 2x^2 \le y \le 2x \end{cases}\)


\(\int_{}^{} \int_{}^{} yx^2= \int_{0}^{1} \left\{ \int_{2x}^{2\sqrt{x}} yx^2dy\right\}dx= \int_{0}^{1}[ \frac{y^2x^2}{2}]^{2\sqrt{x}}_{2x}dx=\)

\(= \int_{0}^{1}[2x^3- 2x^4]dx=[ \frac{x^4}{2}- \frac{2x^5}{5}]^1_0= \frac{1}{10}\)


teraz po dolnym obszarze:

\(\int_{0}^{1}[ \frac{x^2y^2}{2}]^{2x}_{2x^2}= \int_{0}^{1}[2x^4-2x^6]dx=[ \frac{2}{5}x^5- \frac{2}{7}x^7]^1_0= \frac{4}{35}\)


\(\frac{4}{35}> \frac{1}{10}\)

[janekk]

4) myślę, że łatwiej jest policzyć równanie charakterystyczny otrzymując rozwiązanie równ. jednorodnego, a rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego szukać w tym przypadku metodą przewidywań

[patryk00714]

2)

\(\int_{}^{} \frac{ln^2x}{x}dx= \begin{vmatrix} t=lnx\\dt= \frac{dx}{x} \end{vmatrix}= \int_{}^{} t^2dt= \frac{t^3}{3}= \frac{ln^3x}{3}\)

[patryk00714]

1.

Musimy zamienić równanie prostej na postać parametryczna:

\(\begin{cases} x+z+1=0\\x-2z-1=0\end{cases}\)

wektor normalny pierwszej plaszczyny: \([0,1,1]\), wektor normalny drugiej: \([1,0,-2]\)

wektor kieunkowy prostej to iloczyn wektorowy: \([0,1,1] \times [1,0,-2]=[-2,1,-1]\)

rownanie parametryczne:

\(\begin{cases}x=-2t+x_0\\y=t+y_0\\z=-t+z_0 \end{cases}\) gdzie \(P(x_0,y_0,z_0)\) to dowolny punkt tej prostej np:\(P(-\frac{1}{3},0,-\frac{2}{3})\)


mamy zatem: \(\begin{cases}x=-2t-\frac{1}{3}\\y=t\\z=-t-\frac{2}{3} \end{cases}\)


Podstawiamy teraz do płaszczyzny: \(2x+3y-z=0\) i po wszystkim.

[patryk00714]

2) \(\int_{}^{} (1-x^2)sin2xdx= \int_{}^{} (1-x^2)(- \frac{1}{2}cos2x)'=-\frac{1}{2}cos2x(1-x^2)- \int_{}^{} (-\frac{1}{2}cos2x)(-2x)dx=\)

\(=-\frac{1}{2}cos2x(1-x^2)- \int_{}^{} x\cos2xdx=-\frac{1}{2}cos2x(1-x^2)- \int_{}^{} x( \frac{1}{2}sin2x)'dx=\)

\(=-\frac{1}{2}cos2x(1-x^2)-( \frac{1}{2}x\sin2x- \frac{1}{2} \int_{}^{} \sin2xdx)=-\frac{1}{2}cos2x(1-x^2)-\frac{1}{2}x\sin2x- \frac{1}{4}\cos2x=\)

\(=- \frac{1}{2}\cos2x(1-x^2+ \frac{1}{2})-\frac{1}{2}x\sin2x=- \frac{1}{2}\cos2x(-x^2+ \frac{3}{2})-\frac{1}{2}x\sin2x\)

[slarad]

w 3 zadaniu według Geogebry wychodzi, że pole górne ma 1/3 i pole dolne ma 1/3.

a w zadaniu 1, ten punkt P(x_0,y_0,z_0) obliczam z której prostej?

[patryk00714]

w zadaniu trzecim całki są policzone prawidłowo. W pierwszym zadaniu dobieramy punkt należący prostej \(\begin{cases} x+z+1=0\\x-2z-1=0\end{cases}\).

[slarad]

No ja też myśle że dobrze są obliczone, ale dlaczego graficznie wychodzi inaczej

[patryk00714]

aha, bo to nie są pola ^^. Całka podwójna to objętość bryły ograniczonej w tym wypadku wykresem \(f(x,y)=y^2x\) po tym obszarach \(D_1 \;\;\;\ i \;\;\;\ D_2\)

[patryk00714]

Pola tych obszarów to:

\(P_{D_1}= \int_{0}^{1} \left\{ \int_{2x}^{2\sqrt{x}} dy\right\}dx= \frac{1}{3}\)

\(P_{D_2}=\int_{0}^{1} \left\{ \int_{2x^2}^{2x} dy\right\}dx= \frac{1}{3}\)

[slarad]

Dobrze, dzięki wielkie teraz kapuje ;P