Proszę o pomoc w zadaniu!
\(xy'+y=y^2lnx\)
Równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4449 razy
- Płeć:
Jest to równanie różniczkowe Bernoulliego
\(xy'+y=y^2lnx\)
podstawienie: \(z=y^{1-2}=y^{-1} \Rightarrow y= \frac{1}{z}\)
\(y'=( \frac{1}{z})'=- \frac{z'}{z^2}\)
\(y^2=\frac{1}{z^2}\)
Zatem:
\(-\frac{xz'}{z^2}+ \frac{1}{z} = \frac{lnx}{z^2} \;\;\;\ \setminus \cdot z^2\)
liczymy jednorodne:
\(-xz'+z=0\)
\(\frac{xdz}{dx}=z\)
\(\frac{dz}{z}= \frac{dx}{x} \;\;\ \int_{}^{}\)
\(ln|z|=ln|x|+C\)
\(z=Cx\)
uzmienniamy stałą:
\(z=C(x)x\)
\(z'=C'(x)x+C(x)\)
\(-C'(x)x^2-C(x)x+C(x)x=lnx\)
\(-C'(x)= \frac{lnx}{x^2}\)
\(C(x)= \int_{}^{} \frac{lnx}{-x^2}dx\)
Liczymy osobno tę całkę:
\(\int_{}^{} lnx( \frac{1}{x})'dx = \frac{ln}{x}- \int_{}^{} \frac{1}{x^2}= \frac{lnx}{x}- \int_{}^{} x^{-2}dx= \frac{lnx}{x}+ \frac{1}{x}+C\)
Zatem \(C(x)=\frac{lnx}{x}+ \frac{1}{x}+C\)
\(z=C(x) \cdot x=lnx+1+Cx\)
Ostatecznie: \(y= \frac{1}{lnx+1+Cx}\)
\(xy'+y=y^2lnx\)
podstawienie: \(z=y^{1-2}=y^{-1} \Rightarrow y= \frac{1}{z}\)
\(y'=( \frac{1}{z})'=- \frac{z'}{z^2}\)
\(y^2=\frac{1}{z^2}\)
Zatem:
\(-\frac{xz'}{z^2}+ \frac{1}{z} = \frac{lnx}{z^2} \;\;\;\ \setminus \cdot z^2\)
liczymy jednorodne:
\(-xz'+z=0\)
\(\frac{xdz}{dx}=z\)
\(\frac{dz}{z}= \frac{dx}{x} \;\;\ \int_{}^{}\)
\(ln|z|=ln|x|+C\)
\(z=Cx\)
uzmienniamy stałą:
\(z=C(x)x\)
\(z'=C'(x)x+C(x)\)
\(-C'(x)x^2-C(x)x+C(x)x=lnx\)
\(-C'(x)= \frac{lnx}{x^2}\)
\(C(x)= \int_{}^{} \frac{lnx}{-x^2}dx\)
Liczymy osobno tę całkę:
\(\int_{}^{} lnx( \frac{1}{x})'dx = \frac{ln}{x}- \int_{}^{} \frac{1}{x^2}= \frac{lnx}{x}- \int_{}^{} x^{-2}dx= \frac{lnx}{x}+ \frac{1}{x}+C\)
Zatem \(C(x)=\frac{lnx}{x}+ \frac{1}{x}+C\)
\(z=C(x) \cdot x=lnx+1+Cx\)
Ostatecznie: \(y= \frac{1}{lnx+1+Cx}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)