Oblicz pola powierzchni

[ola-1991]

Proszę o pomoc w zadaniu !
Oblicz pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:
a)
\(f(x)= \sqrt{4-x^2}\\ -1 \le x \le 1\)

oś Ox


b)
\(f(x) = \sqrt{x}(1- \frac{x}{3})\\ 1 \le x \le 3\)

oś Ox

Wyrażenia matematyczne bierz w "texy"

[patryk00714]

\(P_b=2 \pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2} }dx=2 \pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4}dx=2 \pi \int_{-1}^{1} 2dx=2 \pi [2x]^1_{-1}=8 \pi\)

[patryk00714]

w b) funkcja wygląda tak: \(f(x)=\sqrt{x}(1-\frac{x}{3})\)??

[ola-1991]

tak właśnie wygląda ta funkcja

[patryk00714]

To tu jest już nieco trudniej:


\(f'(x)= \frac{1- \frac{x}{3} }{2\sqrt{x}}+(- \frac{\sqrt{x}}{3})= \frac{3-x}{6\sqrt{x}}- \frac{2x}{6\sqrt{x}}= \frac{1-x}{2\sqrt{x}}\)

\(P_b=2 \pi \int_{1}^{3}\sqrt{x}(1- \frac{x}{3}) \sqrt{1+ \frac{1-2x+x^2}{4x} }dx=2 \pi \int_{1}^{3}\sqrt{x} (1- \frac{x}{3}) \frac{(1+x)}{2\sqrt{x}}dx=\)

\(= \pi \int_{1}^{3}(1- \frac{x}{3})(1+x)dx= \pi [x+ \frac{x^2}{3}- \frac{x^3}{9}]^3_1= \pi (3+3-3-(1+ \frac{1}{3}- \frac{1}{9}))= \frac{16}{9} \pi\)

Po drodze przy kasowaniu pierwiastka pominąłem wartość bezwzględną, bo \(x \in <1,3>\)

[patryk00714]

Wzorki: http://www.analizamatematyczna.enhost.pl/ozn3.htm