metoda szeregów potęgowych rozwiązywania równań różniczkowyc

[justys212]

Witam, Czy ktoś z Was potrafi może rozwiązać metodą szeregów potęgowych (najlepiej podaną w A.Palczewski równania różniczkowe zwyczajne) równanie:
y''(x)-2xy'(x)+y(x)=0
Proszę o Pomoc

Pozdrawiam,
Justys212

[octahedron]

Nie wiem, czy dokładnie o to chodzi:
\(y''(x)-2xy'(x)+y(x)=0
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
y'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
y''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}
\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}-2x\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0
\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}-\sum_{n=1}^\infty 2na_nx^n+\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^\infty 2na_nx^n+\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0
\sum_{n=0}^\infty \[(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n+a_n\]x^n=0
(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n+a_n=0
a_{n+2}=\frac{1-2n}{(n+2)(n+1)}a_n\)

Rozwiązanie zależy od \(a_0\) i \(a_1\), które można wyznaczyć z warunków początkowych

[justys212]

super dziękuję.