Topologia-ciągłość i metryka.

[Wojtek1990]

Cześć,
jako że jest sesja otrzymałem takie oto 3 zadania do rozwiązania. Czy ma ktoś jakiś pomysł jak to ugryźć? Czy mógłby ktoś pomóc? Bardzo Was proszę. Dla osoby z Bdg ewentualnie przewidziana nagroda .
Dziękuje!


Zadanie 1
Niech \(X=Y=\left\{-1,0,1,3\right\}\) oraz \(\mathcal{T}(X) =\left\{\emptyset, \left\{-1,1\right\}, \left\{0,3\right\}, \left\{3\right\}, \left\{-1, 1, 3\right\}, \left\{-1,0,1,3\right\}\right\}\)
\(\mathcal{T}(Y)=\left\{\emptyset, \left\{1\right\},\left\{0,3\right\},\left\{ -1,0,1,3\right\}\right\}\)
czy funkcja \(f:\ X\to Y\) określona wzorem \(f(x)= (-1)^x\) jest ciągła
oraz czy ciągła jest funkcja \(f^{-1}\) jest ciągła.

Zadanie 2.
wyznacz wnętrze i brzeg prostej o równaniu \(1+y=2x\) na płaszczyźnie z metryką kolejową
Zadanie 3.
Niech \(X= \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)
Rozważmy funkcję \(\rho\) określoną następująco:
\(\rho(f,g)=\max\left\{|f(x) \cdot g(x)|:\ x\in\mathbb{R}\right\}\)
czy \(\rho\) jest metryką w \(X\).

[Crazy Driver]

Czy w 1 to miała być taka funkcja jak widać, czy może \((-1)^x\)?

[Crazy Driver]

2. Mamy prostą \(y=2x-1\). Wnętrze \(A\) to zbiór punktów, których pewne otoczenia są zawarte w \(A\), więc wnętrze tej prostej w metryce kolejowej to \(\emptyset\) (prosta nie przechodzi przez środek układu współrzędnych).
Dla każdego zbioru \(A\) mamy \(\partial A=\textrm{cl}A\setminus\textrm{Int}A\).
Domknięcie tej prostej w metryce kolejowej to właśnie ta prosta, ponieważ dla każdego punktu spoza niej można wskazać jego otoczenie, które jej nie przecina. Zatem na podstawie powyższej zależności brzeg tej prostej to \(\emptyset\).

[Crazy Driver]

3. Funkcja \(\rho\) nie może być metryką, bo jej dziedziną nie jest cała przestrzeń \(\left(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right)^2\). Np. dla funkcji \(f(x)=x,\,g(x)=x^2\) \(\rho(f,g)\) nie istnieje. Metryka musi być w stanie mierzyć odległość między dowolnymi punktami przestrzeni topologicznej.

[Wojtek1990]

Kochani, baaardzo Wam dziekuje. Bardzo przepraszam, ze tak "na odwal" bez Techa...
Ad1. Tak oczywiscie funkcja \((-1)^x\).

Jeszcze raz BARDZO dziekuje.

[Wojtek1990]

A jak z tym zadankiem nr 1. da sie coś zrobić?
I mam jeszcze pytanie do odp do zadnia 3. Czym jest zbiór \((R^{R})^{2}\).
Miłego wieczoru

[Crazy Driver]

My, Crazy Driver, odpowiadamy, że nie ma za co.

Co do zadania 1, to skorzystam z następującej definicji ciągłości:

\(f\in C(X,Y)\quad\Leftrightarrow\quad \forall U\in\mathcal{T}(Y)\quad f^{-1}(U)\in\mathcal{T}(X)\)

Sprawdzamy dla \(U=\left\{1\right\}\):

\(f^{-1}(U)=\left\{0\right\}\not\in\mathcal{T}(X)\).

Zatem \(f\) nie jest ciągła. Co do \(f^{-1}\), to zacząłbym od tego, że \(f\) nie jest bijekcją \(X\) na \(Y\), więc nie możemy bez dodatkowych obostrzeń mówić o \(f^{-1}\).

[Crazy Driver]

I mam jeszcze pytanie do odp do zadnia 3. Czym jest zbiór \((R^{R})^{2}\).

\(2\) oznacza tutaj potęgę kartezjańską. \(\left(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right)^2=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\times\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).

Ogólnie: \(A^n=\prod_{k=1}^nA\)

Miłego wieczoru

Wzajemnie.

[Wojtek1990]

Dobry człowieku, niech Ci Pan Bóg w szczęściu i miłości wynagrodzi