Równania różniczkowe

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Równania różniczkowe

Post autor: Paweł_1991 »

]1.rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne:
\(x\ sqrt{1-y^2}dx + y \sqrt{1-x^2}dy=0\)

\(x(x+2y)dx+(x^2-y^2)dy=0\)

2.rozwiązać równanie różniczkowe niejednorodne:
\(y'+2xy=2x^2 e^{-x^2}\)
3.rozwiązać równanie różniczkowe niejednorodne metodą uzmienniania stałej:
\(xy+e^x-xy'=0\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Równania różniczkowe

Post autor: eresh »

3.
\(xy'=xy\\
x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=xy\backslash \div x\;\;x\neq 0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=y\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\mbox{d}x\\
\ln |y|=x+c\\
y=e^xc_1\\\)

uzmienniamy stałą:
\(y'=e^xc_1+e^xc_1'\\
xe^xc_1+e^x-x(e^xc_1+e^xc_1')=0\\
e^x-xe^xc_1'=0\\
xc_1'=1\\
c_1'=\frac{1}{x}\\
c_1=\int\frac{\mbox{d}x}{x}=\ln |x|\\
y=e^xc_1+e^x\ln|x|\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Równania różniczkowe

Post autor: eresh »

2.
\(y'+2xy=0\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=-2x\mbox{d}x\\
\ln |y|=-x^2+c\\
y=e^{-x^2}c_1\)

uzmienniamy stałą
\(y'=e^{-x^2}(-2x)c_1+e^{-x^2}c_1'\\
e^{-x^2}(-2x)c_1+e^{-x^2}c_1'+2xe^{-x^2}c_1=2x^2e^{-x^2}\\
c_1'=2x^2\\
c_1=\int 2x^2\mbox{d}x=\frac{2}{3}x^3\\
y=e^{-x^2}c_1+e^{-x^2}\cdot\frac{2}{3}x^3\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: Równania różniczkowe

Post autor: Paweł_1991 »

ja mam pytanie :
jeśli mam przykład \(y'' - 2y' + y = e^xlnx\)
to jakie tutaj będzie przewidywanie?
janekk
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 607
Rejestracja: 04 mar 2012, 18:31
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: janekk »

nie będzie żadnego, chyba że 'trafisz' rozw. szczególne...
skorzystaj z metody uzmienniania stałej
Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: Równania różniczkowe

Post autor: Paweł_1991 »

a wiesz jak to zrobić? mi coś nie wychodzi
janekk
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 607
Rejestracja: 04 mar 2012, 18:31
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: janekk »

A co dokładnie Tobie nie wychodzi?
do obliczenia tych 'uzmiennionych' stałych możesz np. skorzystać ze wzorów Cramera
Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Post autor: Paweł_1991 »

aż tak dobry to nie jestem. Jeśli mogłbyś to rozwiązać byłbym wdzięczny
janekk
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 607
Rejestracja: 04 mar 2012, 18:31
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: janekk »

Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Post autor: Paweł_1991 »

tylko o co chodzi w tej drugiej częsci;/
janekk
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 607
Rejestracja: 04 mar 2012, 18:31
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: janekk »

masz do rozwiązania układ równań:
\(u'(x)e^x +v'(x)e^x x =0\)
\(u'(x) (e^x)' +v'(x) (e^x x)' =e^x lnx\)

i masz policzyć: \(u'(x),v'(x)\) a potem scałkować otrzymując \(u(x),v(x)\)
Paweł_1991
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 30 sty 2012, 13:20
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Post autor: Paweł_1991 »

a 2 przykład w pierwszym zadaniu?
janekk
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 607
Rejestracja: 04 mar 2012, 18:31
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: janekk »

2b)
\(P=x^2 +2xy\)
\(Q=x^2 -y^2\)
\(\frac{dP}{dy}=2x=\frac{dQ}{dx}\)
czyli to jest równanie zupełne

zatem istnieje: \(F\) takie, że: \(\frac{dF}{dx}=P\)
\(\frac{dF}{dy}=Q\)

zcałkuj pierwszą równość po 'x' (pamiętaj o stałej zależnej od 'y' ) a potem zróżniczkuj F po 'y' i porównaj z Q i wylicz stałą
ODPOWIEDZ