ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych

[ewwciak]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch przykładów z ekstremów lokalnych funkcji 2 zmiennych.

a) \(f(x,y)= x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2\)
b) \(f(x,y)=e^{-(x^2+y^2+2x)}\)

W odpowiedziach są podane wyniki:
dla a) minimum lokalne w punktach \((- \sqrt{2}, \sqrt{2}), (- \sqrt{2}, -\sqrt{2})\)
dla b) maksimum lokalne w punkcie \((-1, 0 )\)

[eresh]

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (-2x-2)=-2 e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (x+1)\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (-2y)=-2y e^{-(x^2+y^2+2x)}\\
\begin{cases}-2 e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (x+1)=0\\-2y e^{-(x^2+y^2+2x)}=0 \end{cases}\;\;\;\Rightarrow \begin{cases}x=-1\\ y=0\end{cases}\)
jedynie w punkcie \((-1,0)\) może istnieć ekstremum
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)=2 e^{-(x^2+y^2+2x)}(2x+2)(x+1)-2 e^{-(x^2+y^2+2x)}\\
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=2 e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (x+1)(2y)\\
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=-2 e^{-(x^2+y^2+2x)}+2y e^{-(x^2+y^2+2x)}(2y)\\
\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)=2y e^{-(x^2+y^2+2x)}\cdot (2x+2)\\
\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(-1,0)& \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(-1,0)\\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(-1,0)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(-1,0)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 e & 0\\ 0&-2e\end{bmatrix}=4e^2>0\; \wedge \;\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(-1,0)<0\)
funkcja ma maksimum lokalne w \((-1,0)\)

[ewwciak]

Dziękuję

[Crazy Driver]

a) \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3-4x+4y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4y^3-4y+4x\)

\(\begin{cases}f_x(x,y)=0\\f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}4x^3-4x+4y=0\\ 4y^3-4y+4x=0\end{cases}\)

Dodając równania stronami dostajemy

\(4x^3+4y^3=0\)

\(y=-x\)

Podstawiając do pierwszego mamy

\(4x^3-8x=0\)

\(x^3-2x=0\)

\(x(x^2-2)=0\)

\(x=0\quad\vee\quad x=\sqrt2\quad\vee\quad x=-\sqrt2\)

Punkty krytyczne to \((0,0),(\sqrt2,-\sqrt2),(-\sqrt2,\sqrt2)\)

\(D^2f(x,y)=H_f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}f_{xx}(x,y)&f_{yx}(x,y)\\f_{xy}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12x^2-4&4\\4&12y^2-4\end{array}\right]\)

\(H_f(0,0)=\left[\begin{array}{cc}-4&4\\4&-4\end{array}\right]\)

\(d_1=-4<0,\qquad d_2=\left|\begin{array}{cc}-4&4\\4&-4\end{array}\right|=16=16=0\)

Nie wiadomo co z \((0,0)\). Trzeba ten punkt zbadać inaczej.

Porównajmy zachowanie \(f\) w \((0,0)\) na prostych \(y=x\) i \(y=0\).

\(f(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x^2+2x^2=2x^4\)

\(f\) ma w \((0,0)\) minimum na prostej \(y=x\).

\(g(x):=f(x,0)=x^4-2x^2\)

\(g'(x)=4x^3-4x\quad\Rightarrow\quad g'(0)=0\)

\(0\) jest punktem krytycznym \(g\)

\(g''(x)=12x^2-4\quad\Rightarrow\quad g''(0)=-4\)

\(f\) ma w \((0,0)\) maksimum na prostej \(y=0\).

Zatem \(f\) nie ma w \((0,0)\) ekstremum.

\(H_f(\sqrt2,-\sqrt2)=\left[\begin{array}{cc}20&4\\4&20\end{array}\right]\)

\(d_1=20>0,\qquad d_2=\left|\begin{array}{cc}20&4\\4&20\end{array}\right|=400-16=384>0\)

\(f\) ma w \((\sqrt2,-\sqrt2)\) minimum lokalne.

\(H_f(-\sqrt2,\sqrt2)=\left[\begin{array}{cc}20&4\\4&20\end{array}\right]\)

\(f\) ma w \((-\sqrt2,\sqrt2)\) minimum lokalne.

[ewwciak]

Dzięki za pomoc