Dany jest trójkąt o obwodzie p=a+b+c, wpisany w okrąg o promieniu r. Konstruujemy sześciokąt, którego trzy wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, a pozostałe trzy są środkami odpowiednich tłuków okręgu.Oblicz pole tego sześciokąta.Sformułuj twierdzenie ogólne przyjmując\(S_{n}\) -obwód n-kąta;\(P_{2n}\) -pole 2n-kąta.
Rozwiązałem to zadanie dla sześciokąta foremnego-nie wiem czy uogólnienie do którego doszedłem jest takie samo dla dowolnego sześciokąta?
Moje rozwiązanie:
-trójkąt w sześciokącie foremnym.
Zauważam że jeden z boków trójkąta przechodzi przez środek okręgu opisanego na sześciokącie(trójkąt jest prostokątny, zatem długość np. c=2r, później wnioskuje że a=r i b= \sqrt{3}r.
Pole sześciokąta obliczam licząc pole 6 trójkątów o podstawie długości r i wysokości (odpowiednio\(h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}, h_{6}\). Wiemy również że\(h_{1}= h_{2}=h_{3}=h_{4}=h_{5}=h_{6}=\frac{ \sqrt{3} }{2}r
P_{12}= \frac{1}{2} \cdot r \cdot 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}r=\frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot S_n\)
\(S_{n}=6r\).
Czy to rozwiązanie jest poprawne dla sześciokąta foremnego?
trójkąt-okrąg-sześciokąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Narysuj dowolny trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku O i promieniu r.
Niech punkty K, L, M będą środkami łuków AB, BC, CA.
Poprowadź promienie OA, OK, OB, OL, OC, OM.
Sześciokąt AKBLCM podzielony został na deltoidy: AKBO, BLCO, CMAO. Pole sześciokąta to:
\(P=\frac{1}{2}|AB|\cdot|OK|+\frac{1}{2}|BC|\cdot|OL|+\frac{1}{2}|AC|\cdot|OM|=\frac{1}{2}(|AB|+|BC|+|AC|)\cdot r=\frac{1}{2}pr\)
Ogólnie:
\(P_{2n}=\frac{1}{2}S_n\cdot r\)
Niech punkty K, L, M będą środkami łuków AB, BC, CA.
Poprowadź promienie OA, OK, OB, OL, OC, OM.
Sześciokąt AKBLCM podzielony został na deltoidy: AKBO, BLCO, CMAO. Pole sześciokąta to:
\(P=\frac{1}{2}|AB|\cdot|OK|+\frac{1}{2}|BC|\cdot|OL|+\frac{1}{2}|AC|\cdot|OM|=\frac{1}{2}(|AB|+|BC|+|AC|)\cdot r=\frac{1}{2}pr\)
Ogólnie:
\(P_{2n}=\frac{1}{2}S_n\cdot r\)
Re: trójkąt-okrąg-sześciokąt
Dziękuje za rozwiązanie.
Zastanawiam się czy rozw. to zadanie dla sześciokąta foremnego popełniłem błąd.
Czy zadanie można było rozwiązać dla sześciokąta foremnego? Zadanie muszę zrobić dla dowolnego trójkąta, a co jeśli chodzi o sześciokąt,czy musi być dowolny,czy może być foremny??
Zastanawiam się czy rozw. to zadanie dla sześciokąta foremnego popełniłem błąd.
Czy zadanie można było rozwiązać dla sześciokąta foremnego? Zadanie muszę zrobić dla dowolnego trójkąta, a co jeśli chodzi o sześciokąt,czy musi być dowolny,czy może być foremny??