elementy topologii w R^n

[kasiaak]

Witam, bardzo prosze o pomoc w tych zadaniach, kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać a mam z tego kolokwium :/ Prosiłabym również o dokładne wytlumaczenia, ponieważ chciałabym to zrozumieć
z góry dziękuję:)

1) Wykaż że funkcja \(||.||: R^2->R\ dana\ wzorem\ ||(x,y)||=2|x|+\frac{1}{3}|y|\) jest normą na \(R^2\)

2)\(d((x_1,\ x_2),\ (y_1,y_2))=max{|x_1-y_1|,\ |x_2-y_2|}\) Uzasadnij, że \(d:\ R^2->R\) jest metryką. Oblicz odległość punktów (1,0), (2,1) i narysuj kulę K((o,o),1)

3) Znajdź domknięcie, wnętrze i brzeg zbiorów w euklidesowej metryce przestrzeni \(R^2\)
a) K((o,o),1)\{(0,0)}
b) (0,1)x[0,2]

4) Zbadaj zwartość oraz spójność podanych zbiorów:
a) [0,1)x[0,1]
b) [(-1,1]\{0})x[-1,1]

[lukasz8719]

zad 1
1)
\(||(x,y)||=0 \Leftrightarrow x=0 \wedge y=0

||(x,y)||=2|x|+ \frac{1}{3}|y|=0\)
Ponieważ \(|x| \ge 0 \wedge |y| \ge 0\)więc \(2|x|+ \frac{1}{3}|y|=0 \Leftrightarrow x=0 \wedge y=0\)
2)
\(||( \alpha x, \alpha y)||=| \alpha | \cdot ||(x,y)||\)

\(||( \alpha x, \alpha y)||=2| \alpha x|+ \frac{1}{3}| \alpha y|=2| \alpha | \cdot |x|+ \frac{1}{3}| \alpha | \cdot |y|=| \alpha | \cdot (2|x|+ \frac{1}{3}|y|)=| \alpha | \cdot ||(x,y)||\)

3)
\(||(x+k,y+l)|| \le ||x,y)||+||(k,l)||


||(x+k,y+l)||=2|x+k|+ \frac{1}{3}|y+l| \le 2|x|+2|k|+ \frac{1}{3}|y|+ \frac{1}{3}|l|=2|x|+ \frac{1}{3}|y|+ 2|k|+ \frac{1}{3}|l|= ||x,y)||+||(k,l)||\)