Równania różniczkowe i transformaty Laplace'a

[bluetooth89]

1.rozwiąż problem początkowy ,
\(\frac{dy}{dx}\)=\(\frac{x^3}{y^3}\) , y(1)=-3
2.rozwiąż problem początkowy ,
y ' - \(\frac{y}{x}\)=xsinx , y(\(\frac{\pi}{2}\))=1
3. Rozwiąż problem początkowy
y"-5y'+6y=6\(x^{2}\)-4x+3, y(0)=1, y'(0)=0
4.Wyznaczyć odwrotną transformate Laplace'a funkcji
f(s)\(\frac{5s^2-8s+12}{s^3-4s^2+4s-16}\)
5 Metodą transformaty Laplace'a rozwiązać problem początkowy
y'-y=\(te^t\) , y(0)=3
Mam Prośbe jeśli juz ktoś to zrobi to proszę by nie był to sam wynik tylko całe zadanie może byc w formie zdjęcia. Dzieki wielkie.

[octahedron]

\(1.
\frac{dy}{dx}=\frac{x^3}{y^3}
y^3\frac{dy}{dx}=x^3
\int y^3\,dy=\int x^3\,dx
\frac{y^4}{4}=\frac{x^4}{4}+C
y^4=x^4+C
y(1)=-3
(-3)^4-1^4=80=C
\fbox{y=\pm\sqrt[4]{80+x^4}}\)

[octahedron]

\(2.
y'-\frac{y}{x}=x\sin x
y'-\frac{y}{x}=0
\frac{y'}{y}=\frac{1}{x}
\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}
\ln|y|=\ln|x|+C
y=Cx
C=C(x)
(C(x)x)'-\frac{C(x)x}{x}=x\sin x
C'(x)x+C(x)-C(x)=x\sin x
C'(x)=\sin x
C(x)=-\cos x+D
y=x(D-\cos x)
y\(\frac{\pi}{2}\)=\frac{\pi}{2}\cdot D=1\Rightarrow D=\frac{2}{\pi}
\fbox{y=x\(\frac{2}{\pi}-\cos x\)}\)

[octahedron]

\(3.
y''-5y'+6y=6x^2-4x+3
y''-5y'+6y=0
\lambda^2-5\lambda+6=0
(\lambda-3)(\lambda-2)=0
\lambda_1=3,\ \lambda_2=2
y=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}
W(x)=Ax^2+Bx+C
(Ax^2+Bx+C)''-5(Ax^2+Bx+C)'+6(Ax^2+Bx+C)=6x^2-4x+3
6Ax^2+(6B-10A)x+2A-5B+6C=6x^2-4x+3
{\{6A=6\\6B-10A=-4\\2A-5B+6C=3}\ \Rightarrow {\{A=1\\B=1\\C=1}
y=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+x^2+x+1
{\{y(0)=C_1+C_2+1=1\\y'(0)=3C_1+2C_2+1=0}\ \Rightarrow {\{C_1=1\\C_2=-1}
\fbox{y=e^{3x}-e^{2x}+x^2+x+1}\)

[octahedron]

\(4.
F(s)=\frac{5s^2-8s+12}{s^3-4s^2+4s-16}=\frac{5s^2-8s+12}{s(s^2+4)-4(s^2+4)}=\frac{5s^2-8s+12}{(s-4)(s^2+4)}=
=\frac{A}{s-4}+\frac{Bs+C}{s^2+4}=\frac{A(s^2+4)+(s-4)(Bs+C)}{(s-4)(s^2+4)}=\frac{(A+B)s^2+(C-4B)s+4A-4C}{(s-4)(s^2+4)}
{\{A+B=5\\C-4B=-8\\4A-4C=12}\ \Rightarrow {\{A=3\\B=2\\C=0}
F(s)=\frac{3}{s-4}+\frac{2s}{s^2+4}
\fbox{f(x)=(3e^{4x}+2\cos 2x)H(x)}\)

[octahedron]

\(5.
y'-y=te^t
\mathcal{L}\{y'\}-\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{te^t\}
sY(s)-y(0)-Y(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{e^t\}
sY(s)-3-Y(s)=-\frac{d}{ds}\(\frac{1}{s-1}\)
Y(s)(s-1)=\frac{1}{(s-1)^2}+3
Y(s)=\frac{1}{(s-1)^3}+\frac{3}{s-1}
\fbox{y(t)=\frac{1}{2}t^2e^{t}+3e^{t}=\(\frac{1}{2}t^2+3\)e^{t}}\)

[bluetooth89]

Mam pytanie odnośnie zadania 3 czy aby na pewno jest poprawnie zrobione? dokładnie zastanawia mnie ta lambda 1 oraz 2

[octahedron]

Chodziło o to, że \(\lambda_2=3\) ? To była literówka, dalej zadanie jest dobrze.

[bluetooth89]

Witam ponownie, mam pytanie co do poniższego zapisu, czy może mi ktoś wytłumaczyć po kroku skąd to się wzięło?
\(6Ax^2+(6B-10A)x+2A-5B+6C=6x^2-4x+3\)
\({\{6A=6\\6B-10A=-4\\2A-5B+6C=3}\ \Rightarrow {\{A=1\\B=1\\C=1}\)

oraz z zadania czwartego również zapis poniższy.
\(\frac{(A+B)s^2+(C-4B)s+4A-4C}{(s-4)(s^2+4)}\)
\({\{A+B=5\\C-4B=-8\\4A-4C=12}\ \Rightarrow {\{A=3\\B=2\\C=0}\)

[octahedron]

Wielomiany są równe, jeśli wszystkie odpowiadające sobie współczynniki są równe. Stąd te układy równań, porównujemy współczynniki.

[bluetooth89]

Chodzi mi o to że nie wiem skąd tego zapisu

\((Ax^2+Bx+C)''-5(Ax^2+Bx+C)'+6(Ax^2+Bx+C)\)
zrobił się ten
\(6Ax^2+(6B-10A)x+2A-5B+6C\)

i tu też nie wiem skąd nagle takie wymnożenie

\(\frac{(A+B)s^2+(C-4B)s+4A-4C}{(s-4)(s^2+4)}\)

[octahedron]

W pierwszym różniczkujemy i porządkujemy wyrazy podobne i wyjdzie właśnie coś takiego. W drugim też, po prostu nie pisałem wszystkiego krok po kroku.

[bluetooth89]

a czy mógłbyś w tym pierwszym zróżniczkować to po kolei? chciałbym widzieć jak to wygląda, wybacz ale jestem kompletnie zielony.

[octahedron]

\((Ax^2+Bx+C)''-5(Ax^2+Bx+C)'+6(Ax^2+Bx+C)=
=(2Ax+B)'-5(2Ax+B)+6(Ax^2+Bx+C)=2A-5(2Ax+B)+6(Ax^2+Bx+C)\)

[bluetooth89]

dobra teraz juz rozumiem to 3:) z czwartym spróbuje sobie poradzić może mi się uda, ale za 3 wielkie dzięki.