Logika - zadanie z kapeluszami

[daimien]

ZADANIE:
Zbadaj następujące zdarzenie. W pokoju było ciemno. Leżało na stole 5 kapeluszy: 2 białe i 3 carne. Trzej panowie weszli do pokoju, każdy z nich nałożył po ciemku jakiś kapelusz nie wiedząc oczywiście jaki, i wyszli szeregiem, przy czym żaden z nich nie oglądał się za siebie. Szli jeden za drugim i żaden z nich nie wiedział, jaki ma kapelusz. Każdy widział bowiem tylko kapelusz tego, który szedł przed nim, tzn. pierwszy nie widział w ogóle żadnego kapelusza. Drugi widział tylko kapelusz pierwszego, a trzeci widział kapelusz pierwszego i drugiego. Gdy tak szli, pierwszy z panów pyta się trzeciego: „Jaki masz kapelusz”? Trzeci spojrzawszy na kapelusz pierwszego i drugiego po namyśle odpowiada: „Nie wiem jaki mam kapelusz”. Następnie pierwszy pyta się drugiego: „Czy wiesz jaki masz kapelusz”? Drugi spojrzawszy na kapelusz pierwszego oraz namyśliwszy się nad odpowiedzią trzeciego i domyśliwszy się jego rozumowania odpowiada: „Nie wiem jaki mam kapelusz”. Wtedy pierwszy rozważywszy odpowiedzi trzeciego i drugiego oraz domyśliwszy się ich rozumowań odpowiada: „A ja wiem jaki mam kapelusz”. Domyśl się jaki kapelusz miał pierwszy z panów i drogą jakiego rozumowania doszedł do tego, że ma właśnie taki kapelusz?

Wskazówka. Zbadaj kolejno jak musiał rozumować trzeci, skoro dał taką odpowiedź, co musiał widzieć, następnie jak rozumował drugi, o którym zakładamy, że domyślił się rozumowania trzeciego i co musiał widzieć. W końcu jak rozumował pierwszy. O każdym zakładamy, że rozumował poprawnie. Wypisz wszystkie przesłanki ich wnioskowań i znajdź prawa logiki, którymi musieli się posłużyć.

Rozwiąż to zadanie przyjmując oznaczenia:
W(x) - x wie jaki ma kapelusz;
B(x) - x ma biały kapelusz;
C(x) - x ma czarny kapelusz;
trzech panów oznacz symbolami 1, 2, 3.

Rozwiązanie nie może ograniczać się do podania końcowej odpowiedzi, lecz winno zawierać schemat formalnie poprawnej argumentacji. Jak łatwo zauważyć, zadanie to w istocie sprowadza się do dedukcyjnego wyprowadzenia następstwa z założeń ustalonych na podstawie treści "zagadki"; a więc w warstwie technicznej jest bardzo podobne do budowy dowodu założeniowego formuły rachunku zdań. Przedstawiona argumentacja winna być wolna od luk, tzn. przejście od jakiegoś jej składnika do innych winno być obwarowane regułami wnioskowania albo takimi regułami oraz tezami pomocniczymi w postaci praw rachunku zdań.

ODPOWIEDZ

Droga dedukcji doszedlem ze pierwszy ma na sobie czarny kapelusz, bo gdyby pierwszy mial bialy to drugi wiedzialby ze ma na sobie czarny.
Ale jak to zapisac logicznie... i udowodnic???

[radagast]

Pierwszy ma kapelusz czarny , bo
1) skoro trzeci powiedział że nie wie jaki ma kapelusz to nie mógł zobaczyć przed sobą dwóch białych kapeluszy (bo wtedy wiedziałby, ze ma czarny)
2) skoro drugi nie wiedział jaki ma kapelusz to nie mógł przed sobą zobaczyć białego , bo wiedziałby ze ma czarny (wobec otrzymanej przed chwilą informacji)
3) No to zobaczył przed sobą czarny kapelusz pierwszego
Nie zauważyłam ,ze to juz wiesz więc zapisałam swoje rozumowanie.
A teraz podanymi symbolami:
\(\sim W(3) \Rightarrow \sim \left(B(1) \wedge B(2) \right)\)
\(\sim W(3) \wedge \left( \sim W(2)\right) \Rightarrow \left(\sim \left(B(1) \wedge B(2) \right) \wedge \left( \sim B(1)\right) \right) \Rightarrow \left(\left( C(1) \vee C(2) \right) \wedge C(1) \right) \Rightarrow C(1)\)
Dla mnie czytelniejsze słowami ale można i tak